쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원
0447
난이도 중
서술형
공통인 접선
풀이영상 있음
난이도 중
서술형
공통인 접선
풀이영상 있음
먼저 보기
풀이영상
문제를 읽자마자
출제의도
“공통인 접선”이라는 다섯 글자를 식 세 개로 번역하는 문제
두 곡선이 한 점에서 공통인 접선을 가진다는 말은 ① 그 점을 두 곡선이 모두 지나고 ② 그 점에서의 접선의 기울기가 같다는 뜻입니다. 여기에 점 (1, −2)가 통째로 주어졌으니 대입할 자리는 이미 정해져 있습니다. 미지수 a, b, c 세 개에 조건도 정확히 세 개 — 계산이 아니라 조건 번역이 채점 포인트인 서술형입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건을 쪼개기
f(x)=x³+ax, g(x)=bx³+3x²+c로 이름부터 붙이세요. 그러면 “점 (1, −2)에서 공통인 접선”은 f(1)=−2, g(1)=−2, f′(1)=g′(1) 세 줄로 완전히 번역됩니다.
미지수가 3개, 조건이 3개 — 답이 하나로 정해집니다.
미지수가 3개, 조건이 3개 — 답이 하나로 정해집니다.
힌트 2 — 공짜로 얻는 값부터
f(1)=−2는 미지수가 a 하나뿐입니다. 1+a=−2에서 a=−3이 바로 나옵니다.
g(1)=−2는 b+3+c=−2, 즉 b+c=−5라는 관계식 하나로 남겨 두세요. 여기서 b, c를 동시에 구하려 하면 막힙니다.
g(1)=−2는 b+3+c=−2, 즉 b+c=−5라는 관계식 하나로 남겨 두세요. 여기서 b, c를 동시에 구하려 하면 막힙니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f′(x)=3x²+a, g′(x)=3bx²+6x이므로 f′(1)=g′(1)은 3+a=3b+6입니다. a=−3을 넣으면 b가 즉시 결정되고, 그 b를 b+c=−5에 넣으면 c가 나옵니다.
마지막에 문제가 물은 것은 a+b+c가 아니라 a+b−c입니다.
마지막에 문제가 물은 것은 a+b+c가 아니라 a+b−c입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a+b−c = −2
더 빠른 길 — 접선을 먼저 확정하기
a=−3이 나온 순간 f′(1)=3+a=0입니다. 즉 점 (1, −2)에서의 공통접선은 기울기 0인 y=−2로 이미 확정됩니다.
그러면 g′(1)=0에서 3b+6=0 ⟹ b=−2, g(1)=−2에서 −2+3+c=−2 ⟹ c=−3. 연립할 것 없이 순서대로 흘러갑니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
기울기 조건만 쓰고 점을 지나는 조건을 빠뜨린다
공통접선은 조건이 반드시 두 종류입니다. f′(1)=g′(1)만 쓰면 식이 하나 모자라 b, c가 끝까지 정해지지 않습니다. “지난다 + 기울기가 같다”를 한 세트로 외우세요. -
g(1)=−2에서 b와 c를 억지로 분리하려 한다
이 식은 b+c=−5라는 관계식일 뿐입니다. 여기서 멈추고 ㉠으로 남겨 둔 뒤, 기울기 조건에서 b를 먼저 확정하는 것이 정해진 순서입니다. -
g′(x)를 구할 때 상수항 c를 살려 둔다
g(x)=bx³+3x²+c에서 g′(x)=3bx²+6x입니다. c는 미분과 동시에 사라집니다. 반대로 g(1)에는 c가 반드시 들어가야 합니다. -
a+b+c를 계산한다
문제가 요구한 것은 a+b−c입니다. a=−3, b=−2, c=−3을 답안지 여백에 따로 적고 부호를 확인하며 대입하세요. c의 부호 하나로 −8과 −2가 갈립니다. -
서술형인데 근거 문장을 생략한다
채점 기준이 ① a의 값과 b, c의 관계식(40%) ② b의 값(40%) ③ c의 값(10%) ④ a+b−c의 값(10%)으로 배분되어 있습니다. 앞 두 단계가 80%이므로, “점 (1, −2)를 지나므로”, “접선의 기울기가 같으므로”라는 근거 문장을 반드시 적어야 합니다.
다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기 ›
문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트