쎈미적분1 0446

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용 · 유형 12 공통인 접선

0446
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풀이영상

두 곡선 y=x³+ax, y=2x²+4가 한 점에서 접할 때, 상수 a의 값은?

  1. ① −7
  2. ② −5
  3. ③ −3
  4. ④ 3
  5. ⑤ 5

문제를 읽자마자

출제의도

미지수가 둘(t와 a), 식도 둘 — 소거 순서가 승부처

앞 문제(0445)와 조건은 똑같습니다. 다른 점은 곡선 안에 상수 a가 숨어 있어 접점 t와 a 두 개를 동시에 다뤄야 한다는 것뿐이에요. 기울기 조건 쪽이 a=(t의 식) 꼴로 훨씬 깔끔하게 정리되므로, 여기서 a를 뽑아 만나는 조건에 대입하면 t만 남는 3차방정식이 됩니다. 어느 식에서 무엇을 소거할지 고르는 판단이 이 문제의 핵심입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 두 식 세우기
f(x)=x³+ax, g(x)=2x²+4로 두면 f′(x)=3x²+a, g′(x)=4x입니다.
접점의 x좌표를 t라 할 때 f(t)=g(t)와 f′(t)=g′(t), 두 식을 먼저 적어 놓으세요. 미지수는 t와 a 두 개, 식도 두 개이니 풀 수 있습니다.
힌트 2 — 어느 쪽에서 a를 뽑을까
f(t)=g(t)는 t³+at=2t²+4로 a가 t와 곱해져 있어 정리가 지저분합니다.
반면 f′(t)=g′(t)는 3t²+a=4t, 즉 a=4t−3t²로 a가 단독으로 떨어집니다. 이 식을 위쪽에 대입하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
대입해 정리하면 t³−t²+2=0이고, t=−1을 넣으면 0이 되므로 (t+1)(t²−2t+2)=0입니다.
t²−2t+2=(t−1)²+1>0이라 실근은 t=−1 하나뿐이에요. 이 값을 a=4t−3t²에 되돌려 넣으면 끝입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ①  a = −7

쎈 미적분1 0446번 해설

다른 관점 — 중근 조건으로 보기

“접한다”를 h(x)=x³−2x²+ax−4가 중근을 갖는 것으로 보고, 중근을 t, 나머지 근을 s라 하면 h(x)=(x−t)²(x−s)입니다. 계수를 비교하면 2t+s=2, t²s=4.
s=2−2t를 대입하면 t²(2−2t)=4, 정리하면 t³−t²+2=0 — 연립으로 얻은 식과 완전히 같은 결과입니다. 어느 길로 가도 같은 방정식에 도착한다는 걸 확인해 두면 검산이 됩니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 만나는 조건 쪽에서 a를 뽑으려 한다
    t³+at=2t²+4에서 a=(2t²−t³+4)/t가 되어 분모가 생깁니다. a가 단독으로 떨어지는 기울기 조건(a=4t−3t²)에서 뽑는 것이 정석입니다.
  • 대입 후 정리에서 부호를 흘린다
    t³+(4t−3t²)t = t³+4t²−3t³ = −2t³+4t²입니다. 이를 2t²+4와 놓고 정리하면 −2t³+2t²−4=0, 양변을 −2로 나눠 t³−t²+2=0. 나누면서 부호가 바뀌는 지점을 특히 조심하세요.
  • t²−2t+2=0의 근을 억지로 찾는다
    판별식 D/4=1−2=−1<0이므로 실근이 없습니다. 실수 범위에서 접점은 t=−1 하나뿐이라는 근거를 한 줄 적어 두는 것이 안전합니다.
  • t를 구하고 답으로 낸다
    묻는 것은 접점이 아니라 상수 a입니다. t=−1을 a=4t−3t²에 되돌려 넣으면 a=−4−3=−7. −1이나 −4를 답으로 쓰지 않도록 마지막에 문제 문장을 다시 읽으세요.
  • 3t²을 (3t)²처럼 계산한다
    t=−1일 때 −3t²=−3×1=−3입니다. 제곱이 먼저이므로 부호는 살아남지 않아요. 이 한 칸에서 a=−1이 나와 ①이 아닌 다른 선택지로 새는 경우가 가장 많습니다.


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