쎈미적분1 0445

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용 · 유형 12 공통인 접선

0445
대표 문제
공통인 접선
풀이영상 있음

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풀이영상

두 곡선 y=x³, y=3x²−4가 한 점에서 공통인 접선을 가질 때, 공통인 접선의 방정식은?

  1. ① y=2x−4
  2. ② y=2x+4
  3. ③ y=6x−4
  4. ④ y=12x−16
  5. ⑤ y=12x+16

유형 12 · 공통인 접선

두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t인 점에서 공통인 접선을 가지는 경우
① x=t인 점에서 두 곡선이 만난다 ⟹ f(t)=g(t)
② x=t인 점에서의 두 곡선의 접선의 기울기가 같다 ⟹ f′(t)=g′(t)

문제를 읽자마자

출제의도

“접한다”를 두 개의 식으로 번역하는 문제

공통접선 문제는 사실상 번역 연습입니다. 접점의 x좌표를 t로 놓는 순간 f(t)=g(t)와 f′(t)=g′(t) 두 식이 자동으로 세워지고, 각각을 풀어 나온 t의 값들 중 양쪽 모두에 들어 있는 t만 살아남습니다. 대표문제인 만큼 이 절차를 손에 익히는 것이 목적이에요.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 식으로
f(x)=x³, g(x)=3x²−4로 두고 접점의 x좌표를 t라 하세요.
“한 점에서 공통인 접선을 가진다”는 만난다 + 기울기가 같다 두 가지입니다. 식 두 개를 먼저 적어 놓고 시작하세요.
힌트 2 — 3차식 인수분해
f(t)=g(t)에서 t³=3t²−4, 즉 t³−3t²+4=0입니다. t=−1을 대입하면 0이 되니 (t+1)로 나눠지고, 결과는 (t+1)(t−2)²=0이에요.
f′(t)=g′(t)는 3t²=6t, 즉 3t(t−2)=0. 두 결과를 나란히 적어 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
첫 식의 해는 t=−1, 2이고 둘째 식의 해는 t=0, 2입니다. 공통으로 들어 있는 것은 t=2 하나뿐입니다.
이제 접점은 (2, 8), 기울기는 f′(2)=12. 점과 기울기가 있으면 직선은 한 줄로 끝납니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  y = 12x − 16

쎈 미적분1 0445번 해설

더 빠른 길 — 차를 만들어 중근 찾기

두 곡선이 접한다는 것은 h(x)=f(x)−g(x)=x³−3x²+4가 중근을 갖는다는 뜻입니다. h(x)=(x+1)(x−2)²이므로 중근은 x=2, 단근 x=−1은 그냥 교차하는 점이에요.
연립 두 식을 따로 풀 필요 없이 인수분해 한 번으로 접점이 x=2임이 확정됩니다. 나머지는 y=8, 기울기 12를 대입해 y−8=12(x−2).

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 기울기 조건만 쓰고 끝낸다
    f′(t)=g′(t)만 풀면 t=0, 2가 나옵니다. t=0에서는 두 곡선이 만나지도 않아요(0과 −4). “만난다”는 조건을 반드시 함께 확인해야 합니다.
  • 만나는 조건만 쓰고 끝낸다
    반대로 f(t)=g(t)만 풀면 t=−1, 2가 나옵니다. t=−1은 두 곡선이 교차만 하는 점이라 접선이 서로 달라요. 두 조건의 교집합이 답입니다.
  • t³−3t²+4의 인수분해에서 부호를 흘린다
    t³=3t²−4를 옮길 때 −(−4)=+4입니다. t³−3t²−4로 잘못 적으면 인수분해가 되지 않아 시간만 버립니다. 이동 직후 t=−1을 넣어 0인지 검산하세요.
  • 접점의 y좌표를 엉뚱한 식에서 읽는다
    t=2를 f(x)=x³에 넣으면 8, g(x)=3x²−4에 넣어도 8입니다. 두 값이 같은지 확인하는 습관이 검산이 됩니다. 다르게 나왔다면 t를 잘못 고른 것입니다.
  • 기울기까지 구하고 직선식을 세우지 않는다
    묻는 것은 t도 기울기도 아닌 접선의 방정식입니다. y−8=12(x−2)를 정리해 y=12x−16까지 가야 선택지와 맞춰집니다. ③ y=6x−4처럼 중간값을 담은 함정 선택지가 깔려 있어요.


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