쎈미적분1 0444

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용 · 유형 11 곡선 밖의 점에서 그은 접선

0444
난이도 상
서술형
접선의 개수
풀이영상 있음

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풀이영상

곡선 y=x³+6x²+4 밖의 점 (a, 4)에서 이 곡선에 그은 접선이 오직 한 개 존재하도록 하는 실수 a의 값의 범위를 m<a<n이라 하자. 이때 mn의 값을 구하시오.

문제를 읽자마자

출제의도

접선의 개수를 접점 t의 개수로 바꿔 세는 문제

곡선 밖의 한 점에서 그은 접선은 눈으로 세는 게 아니라, 접점의 x좌표를 t로 놓았을 때 나오는 방정식의 실근을 세는 것입니다. 여기서는 그 방정식이 3차식이지만 t로 묶여 t=0이 항상 근이 됩니다. 즉 접선 하나는 a와 무관하게 이미 확보되어 있고, 문제는 “나머지 이차방정식이 접선을 더 만들지 않을 조건”으로 바뀝니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 시작점 잡기
(a, 4)를 접점으로 착각하면 안 됩니다. 이 점은 곡선 밖의 점이에요.
접점의 좌표를 (t, t³+6t²+4)로 놓고, 그 점에서의 접선의 방정식을 f′(t)=3t²+12t를 이용해 세워 보세요.
힌트 2 — 지나는 점 대입
세운 접선이 점 (a, 4)를 지납니다. 4를 대입해 정리하면 상수 4가 양변에서 사라지고
t{2t² + (6−3a)t − 12a} = 0
이 나옵니다. t가 공통으로 묶인다는 것이 이 문제의 열쇠입니다. t=0은 a가 무엇이든 항상 근이에요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
접선이 오직 한 개이려면 t의 값이 t=0 하나뿐이어야 합니다. 즉 이차방정식 2t²+(6−3a)t−12a=0이 ⑴ t=0을 중근으로 갖거나 ⑵ 실근을 갖지 않아야 합니다.
⑴은 6−3a=0이면서 −12a=0이어야 하므로 불가능. ⑵에서 D<0을 풀면 범위가 나옵니다.
마지막에 묻는 것은 범위가 아니라 mn이라는 점을 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 4  (−6 < a < −2/3)

쎈 미적분1 0444번 해설 1
쎈 미적분1 0444번 해설 2

서술형 채점 기준

❶ 접선이 오직 한 개 존재하도록 하는 조건을 구할 수 있다 50%
❷ a의 값의 범위를 구할 수 있다 40%
❸ mn의 값을 구할 수 있다 10%
왜 t=0이 항상 나오는가 — 그림으로 보는 이유

곡선과 직선 y=4의 교점을 구하면 x³+6x²=0, 즉 x²(x+6)=0에서 x=0(중근), x=−6입니다. x=0이 중근이라는 것은 직선 y=4가 x=0에서 곡선에 접한다는 뜻이에요. 실제로 f′(0)=0이니 그 점의 접선이 바로 y=4입니다.
점 (a, 4)는 어디에 있든 이 직선 위의 점이므로, 접선 y=4는 공짜로 하나 확보됩니다. 그래서 t=0이 늘 근으로 나오는 것이고, 경계값 a=−6이 곡선과 y=4의 나머지 교점의 x좌표와 정확히 일치하는 것도 우연이 아닙니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • (a, 4)를 접점으로 놓고 시작한다
    “곡선 밖의 점”이라고 못 박혀 있습니다. 접점은 반드시 새 문자 t로 잡고, (a, 4)는 접선이 지나는 점으로만 쓰세요.
  • t가 묶이는 것을 보지 못하고 3차방정식을 정면으로 푼다
    대입하면 상수항 4가 소거되어 모든 항에 t가 남습니다. t{ }=0 꼴로 묶는 순간 문제 난이도가 절반으로 떨어집니다.
  • 이차방정식이 실근을 갖지 않는 경우만 답으로 쓴다
    서술형에서는 t=0을 중근으로 갖는 경우도 따져 “그런 a는 없다”고 적어야 ❶ 배점 50%가 온전히 인정됩니다. 답만 맞고 이 검토가 빠지면 감점입니다.
  • 부등호 방향을 뒤집는다
    D<0에서 3a²+20a+12<0, (3a+2)(a+6)<0입니다. 이차항 계수가 양수이므로 두 근 사이가 답이에요. 습관적으로 바깥 범위를 쓰지 않도록 주의하세요.
  • 범위까지 구하고 멈춘다
    구한 것은 −6<a<−2/3입니다. 묻는 것은 mn이므로 m=−6, n=−2/3을 따로 적고 곱하세요. 음수×음수이므로 mn=4, 부호는 양수입니다.
  • m과 n을 크기 순서대로 놓지 않는다
    m<a<n이므로 m이 작은 쪽(−6), n이 큰 쪽(−2/3)입니다. −2/3이 −6보다 크다는 것을 수직선에서 한 번 확인하고 대입하세요.


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