04단원 · 유형 06 접선의 방정식 ; 기울기가 주어진 경우
0419
난이도 하
평행이동과 접선
풀이영상 있음
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평행이동과 접선
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문제를 읽자마자
출제의도
직선을 아무리 옮겨도 기울기는 그대로 — 결국 기울기 2인 접선 찾기
“평행이동하였다”라는 말에 겁먹을 필요가 없습니다. 평행이동된 직선의 방정식이 무엇인지는 끝까지 몰라도 됩니다. 이 문제가 실제로 주는 정보는 딱 하나, 접선의 기울기가 2라는 것. 0418과 완전히 같은 3단 절차로 들어가면 됩니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 평행이동이 바꾸는 것과 안 바꾸는 것
직선을 위아래·좌우로 옮기면 y절편은 달라지지만 기울기는 변하지 않습니다.
따라서 평행이동한 직선이 곡선에 접한다면, 그 접선의 기울기는 여전히 2입니다. 이제 미지수는 접점 하나뿐입니다.
따라서 평행이동한 직선이 곡선에 접한다면, 그 접선의 기울기는 여전히 2입니다. 이제 미지수는 접점 하나뿐입니다.
힌트 2 — 접점을 t로 놓기
f(x)=3x²−4x+1이라 하면 f′(x)=6x−4. 접점을 (t, f(t))로 두면 조건은 f′(t)=6t−4=2.
일차방정식이므로 t는 한 번에 나옵니다.
일차방정식이므로 t는 한 번에 나옵니다.
힌트 3 — 묻는 것은 m+n
t=1이므로 m=1, n=f(1)=3−4+1=0입니다.
n을 구할 때 대입하는 식은 직선이 아니라 곡선 y=3x²−4x+1입니다. 접점은 곡선 위의 점이니까요. 마지막으로 m+n을 더하세요.
n을 구할 때 대입하는 식은 직선이 아니라 곡선 y=3x²−4x+1입니다. 접점은 곡선 위의 점이니까요. 마지막으로 m+n을 더하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ m+n = 1
미분 없이 — 판별식으로 확인하기
평행이동한 직선을 y=2x+c로 두고 곡선과 연립하면 3x²−4x+1=2x+c, 즉 3x²−6x+(1−c)=0.
접한다는 것은 중근이므로 D/4=9−3(1−c)=0에서 c=−2, 이때 x=1이고 y=0. 접점은 (1, 0)으로 같습니다. 이차함수라서 가능한 검산법이니, 미분으로 푼 뒤 30초만 들여 맞춰 보세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
y=2x+5를 그대로 곡선과 연립한다
원래 직선은 곡선에 접하지 않습니다. 접하도록 옮긴 뒤의 직선이 대상이므로, 절편 5는 계산에서 완전히 빠집니다. -
접점의 y좌표를 직선에 대입해서 구한다
n=2·1+5=7로 두면 오답. 접점은 곡선 위의 점이므로 n=f(1)=0입니다. -
f′(t)=2를 f(t)=2로 쓴다
기울기 조건은 도함수에 겁니다. 0418과 똑같은 지점에서 갈립니다. -
m만 구하고 답을 고른다
t=1이 나오면 다 풀었다는 느낌이 들지만, 물은 것은 m+n입니다. n=0이라 값이 같아 보여도 반드시 더하는 과정을 적으세요. -
f(1) 계산에서 부호를 흘린다
3−4+1=0. 중간의 −4x를 +4로 읽으면 n=8이 되어 선택지에도 없는 값이 나옵니다.
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