04단원 · 유형 06 접선의 방정식 ; 기울기가 주어진 경우
0418
대표 문제
기울기 주어진 접선
풀이영상 있음
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기울기 주어진 접선
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문제를 읽자마자
출제의도
접점을 모를 때는 t로 놓고 f′(t)=m부터 세운다
접점이 주어진 문제는 미분하고 대입하면 끝이지만, 이 문제는 기울기만 주어져 있습니다. 그래서 순서가 뒤집힙니다. 접점을 (t, f(t))로 두고 → f′(t)=m으로 t를 찾고 → 접선의 방정식을 쓰는 3단 절차. 유형 06 전체가 이 절차 하나로 돌아갑니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — “평행하다”에서 건질 것은 하나뿐
y=−2x−1에서 쓸 정보는 기울기 −2뿐입니다. y절편 −1은 이 문제에서 한 번도 등장하지 않습니다.
구하려는 접선의 기울기가 −2라는 사실을, 접점을 (t, f(t))로 놓고 어떤 식으로 옮겨 적을 수 있을까요?
구하려는 접선의 기울기가 −2라는 사실을, 접점을 (t, f(t))로 놓고 어떤 식으로 옮겨 적을 수 있을까요?
힌트 2 — t에 대한 방정식 만들기
f′(x)=3x²−12x+10이므로 조건은 f′(t)=3t²−12t+10=−2.
정리하면 3t²−12t+12=0, 양변을 3으로 나눠 t²−4t+4=0. 좌변이 완전제곱식으로 보이나요?
정리하면 3t²−12t+12=0, 양변을 3으로 나눠 t²−4t+4=0. 좌변이 완전제곱식으로 보이나요?
힌트 3 — 접점에서 접선, 접선에서 y절편
(t−2)²=0이므로 t=2. 접점의 y좌표는 f(2)=8−24+20−1=3입니다.
접선은 y−3=−2(x−2). 여기서 멈추지 말고 x=0을 넣거나 전개해서 y=−2x+7 꼴로 만든 뒤 y절편을 읽으세요.
접선은 y−3=−2(x−2). 여기서 멈추지 말고 x=0을 넣거나 전개해서 y=−2x+7 꼴로 만든 뒤 y절편을 읽으세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 7
t가 왜 하나뿐인지 — 도함수를 완전제곱으로
f′(x)=3x²−12x+10=3(x−2)²−2이므로 접선 기울기의 최솟값이 −2이고, 그 값을 주는 x는 x=2 하나뿐입니다.
t²−4t+4=0이 중근이 나온 게 우연이 아니라는 뜻입니다. 기울기가 −2보다 작은 접선은 이 곡선에 존재하지 않고, −2보다 큰 기울기라면 접선이 두 개 나왔을 상황입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
y=−2x−1의 −1을 끌고 들어온다
평행 조건에서 옮겨 오는 정보는 기울기뿐입니다. 절편까지 같으면 그건 평행이 아니라 같은 직선입니다. -
f′(t)=−2 대신 f(t)=−2로 쓴다
기울기 조건은 반드시 도함수에 겁니다. f(t)는 접점의 y좌표를 구할 때 쓰는 값입니다. 두 식의 역할을 처음부터 갈라 두세요. -
중근이 나오자 “접선이 두 개”라고 생각한다
t²−4t+4=0의 근은 t=2 하나입니다. t가 두 개 나왔다면 접선도 두 개지만, 여기서는 접점도 접선도 하나뿐입니다. -
f(2)를 계산하다 부호를 흘린다
8−24+20−1=3. 마지막 상수항 −1을 빠뜨리면 접점이 (2, 4)가 되고 y절편이 8로 어긋납니다. -
접선의 방정식까지만 쓰고 멈춘다
문제가 물은 것은 y절편입니다. y−3=−2(x−2) 상태로 답하면 오답. y=−2x+7까지 정리한 뒤 상수항을 읽으세요.
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