쎈미적분1 0420

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용

0420
난이도 중
접선의 방정식
기울기와 각
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풀이영상

곡선 y=2x3−17x에 접하는 직선 중 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45°이고 접점의 x좌표가 양수인 직선의 방정식을 y=ax+b라 하자. 이때 상수 a, b에 대하여 ab의 값은?

  1. ① −12√3
  2. ② −8√3
  3. ③ 0
  4. ④ 8√3
  5. ⑤ 12√3

문제를 읽자마자

출제의도

45°라는 각도를 기울기 1로 번역하면, 그다음은 평범한 접선 문제

이 문제에서 새로운 계산은 하나도 없습니다. (직선의 기울기)=tanθ 한 줄만 떠올리면 “기울기가 1인 접선을 구하라”로 바뀌고, 그때부터는 접점을 t로 놓고 f′(t)=1을 푸는 표준 절차입니다. 출제자가 시험하는 것은 미분 실력이 아니라 조건을 식으로 옮기는 순간입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 45°부터 처리하기
직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각이 θ일 때 (기울기)=tan θ입니다.
θ=45°이면 기울기는 얼마인가요? 이 값이 곧 a이고, 동시에 접점에서의 미분계수입니다.
힌트 2 — 접점을 문자로
접점의 x좌표를 t라 두면 f′(x)=6x2−17이므로 6t2−17=1입니다.
t2=3이 나왔다면 t=±√3 두 개입니다. 문제가 준 “접점의 x좌표가 양수”라는 조건을 여기서 쓰세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
t=√3일 때 y좌표는 2(√3)3−17√3입니다. (√3)3=3√3이니 6√3−17√3=−11√3.
점 (√3, −11√3)을 지나고 기울기 1인 직선을 쓰면 b가 보입니다. 그리고 문제가 물은 것은 a+b가 아니라 ab입니다.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ①  ab = −12√3

쎈 미적분1 0420번 해설
쎈 미적분1 0420번 해설 2

더 빠른 길 — b는 y절편이다

기울기가 1인 접선의 y절편은 곧 b=f(t)−1·t입니다. 접선의 방정식을 전개할 필요 없이 t=√3을 넣어 b=(−11√3)−√3=−12√3.
a=1이므로 ab=b. 즉 이 문제는 y절편만 구하면 끝나는 문제였습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 45°를 그대로 식에 대입한다
    각도는 기울기가 아닙니다. tan을 한 번 통과시켜야 숫자가 됩니다. 30°는 √3/3, 45°는 1, 60°는 √3 — 이 세 개는 반사적으로 나와야 합니다.
  • t=±√3에서 음수를 버리지 않는다
    “접점의 x좌표가 양수”라는 한 줄이 t=−√3을 잘라내려고 들어간 조건입니다. 이걸 놓치면 부호가 뒤집힌 ⑤ 12√3이 나옵니다.
  • (√3)3 계산에서 무너진다
    (√3)3=3√3이므로 2(√3)3=6√3입니다. 여기서 2√3이나 3√3으로 잘못 쓰면 접점 y좌표가 통째로 어긋납니다.
  • y절편의 부호를 잃어버린다
    y=x−12√3이므로 b=−12√3입니다. 마이너스를 떼고 12√3으로 읽으면 ④·⑤로 끌려갑니다. 방정식을 y=ax+b 꼴로 정리한 뒤에 읽으세요.
  • a+b를 구하고 만족한다
    문제가 요구한 것은 ab입니다. a=1, b=−12√3을 답안 옆에 따로 적어두고 마지막에 곱하는 습관을 들이세요.


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