쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용
0421
난이도 중
서술형
기울기가 같은 접선
풀이영상 있음
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곡선 y=2x3−3x2−12x 위의 점 (0, 0)에서의 접선과 기울기가 같은 다른 접선이 점 (k, 11)을 지날 때, k의 값을 구하시오.
문제를 읽자마자
출제의도
3차곡선에는 기울기가 같은 접선이 두 개 있다는 사실을 쓰는 문제
f′(x)가 2차식이므로 f′(x)=m은 근을 두 개 가질 수 있습니다. 즉 같은 기울기의 접선이 두 군데서 생깁니다. 출제자는 하나(x=0)를 미리 알려주고, 나머지 하나를 찾아내는 능력을 봅니다. 서술형이므로 답보다 t를 구하는 과정과 t≠0을 거르는 근거가 점수입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 기준이 되는 기울기부터
“기울기가 같은”이라고 했으니 먼저 기준값을 숫자로 만들어야 합니다.
f′(x)=6x2−6x−12에서 f′(0)을 계산하세요. 이 값이 두 접선이 공유하는 기울기입니다.
f′(x)=6x2−6x−12에서 f′(0)을 계산하세요. 이 값이 두 접선이 공유하는 기울기입니다.
힌트 2 — 다른 접점 찾기
다른 접점의 x좌표를 t라 두고 f′(t)=−12를 푸세요.
6t2−6t−12=−12 ⟹ 6t(t−1)=0. 근이 두 개 나오는데, t=0은 이미 알고 있는 그 접선이므로 t≠0이라는 근거를 반드시 한 줄 써야 합니다.
6t2−6t−12=−12 ⟹ 6t(t−1)=0. 근이 두 개 나오는데, t=0은 이미 알고 있는 그 접선이므로 t≠0이라는 근거를 반드시 한 줄 써야 합니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
t=1에서 f(1)=2−3−12=−13. 점 (1, −13), 기울기 −12인 직선을 세우면 y=−12x−1.
여기에 점 (k, 11)을 대입하세요. k는 구하는 대상이지 새로 세울 식이 아닙니다.
여기에 점 (k, 11)을 대입하세요. k는 구하는 대상이지 새로 세울 식이 아닙니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 k = −1
서술형 채점 포인트 — 배점이 어디에 붙어 있는가
① 점 (0, 0)에서의 접선의 기울기 −12를 구한다 20% / ② 다른 접점의 x좌표 t=1을 구한다 30% / ③ 그 접선의 방정식 y=−12x−1을 구한다 30% / ④ k=−1을 구한다 20%.
배점의 절반 이상이 ②③에 있습니다. 답만 −1이라고 써 놓으면 20점짜리 문제에서 4점입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
(0, 0)에서의 접선 자체를 답으로 쓴다
문제가 요구한 것은 그 접선과 기울기만 같은 다른 접선입니다. 주어진 접선은 기준값을 얻기 위한 도구일 뿐입니다. -
t=0을 왜 버리는지 안 쓴다
6t(t−1)=0에서 t=0, 1 두 근이 나옵니다. t=0은 이미 주어진 접선의 접점이므로 제외한다 — 이 한 줄이 서술형에서 30% 구간을 지켜 줍니다. -
점 (k, 11)이 곡선 위에 있다고 착각한다
이 점은 접선 위의 점입니다. f(k)=11로 놓고 3차방정식을 풀기 시작했다면 방향이 잘못됐습니다. y=−12x−1에 대입하세요. -
y절편 계산에서 부호를 흘린다
y−(−13)=−12(x−1) ⟹ y=−12x+12−13=−12x−1. +12와 −13을 합치는 이 한 줄에서 −1이 +11이 되는 실수가 가장 잦습니다. -
11=−12k−1에서 이항을 서두른다
12=−12k ⟹ k=−1입니다. 12k=12로 잘못 옮겨 k=1이라 답하면 부호 하나로 전멸입니다. 구한 k를 다시 대입해 11이 나오는지 확인하세요.
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