쎈미적분1 0417

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04단원 · 유형 05 접선의 방정식 ; 곡선 위의 점

0417
난이도 상
서술형
접선에 수직인 직선
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0417번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

“한 점에서 만난다”를 판별식 조건으로 번역하라는 문제

접선 l 자체는 기울기 f′(1)만 쓰고 버립니다. 진짜 계산은 그 다음입니다. 수직인 직선과 곡선을 연립하면 두 식 모두 점 A를 지나므로 (x−1)이 반드시 공통인수로 나오고, 남은 이차식이 실근을 하나도 갖지 않아야 교점이 A 하나뿐입니다. 삼차함수와 직선의 교점 개수 = 방정식의 실근 개수, 이 한 줄이 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 전개하지 말고 미분하기
f(x)=x(x−1)(kx+1)을 굳이 전개할 필요가 없습니다. 세 인수의 곱이므로 곱의 미분법을 그대로 쓰면 f′(x)=(x−1)(kx+1)+x(kx+1)+kx(x−1).
여기에 x=1을 넣으면 (x−1)이 들어간 두 항이 통째로 0이 되어 f′(1)=k+1만 남습니다. 수직인 직선의 기울기는 여기서 바로 나옵니다.
힌트 2 — 연립하고 (x−1)로 묶기
수직인 직선은 y = −1/(k+1) · (x−1)입니다. 곡선과 연립하면
x(x−1)(kx+1) = −1/(k+1) · (x−1).
양변에 (x−1)이 보이죠? 이항해서 (x−1){kx²+x+1/(k+1)} = 0으로 묶으세요. x=1(점 A)은 이미 확보된 교점입니다.
힌트 3 — “한 점에서만”의 번역
교점이 A 하나뿐이려면 남은 이차방정식 kx²+x+1/(k+1)=0이 서로 다른 두 허근을 가져야 합니다. 즉 D<0.
D = 1 − 4k·1/(k+1) = (−3k+1)/(k+1) < 0. 분수부등식은 양변에 (k+1)²을 곱하거나 AB<0 꼴로 바꿔서 (k+1)(3k−1)>0으로 푸세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 k < −1 또는 k > 1/3

0417번 해설 1
0417번 해설 2 · 채점 기준

서술형 답안, 이 순서로 쓰세요

채점 기준이 30 : 40 : 30으로 잘려 있습니다. ❶ f′(1)=k+1을 근거로 수직인 직선의 방정식을 세운다(30%) → ❷ 연립해서 (x−1)로 묶고 “이차방정식이 서로 다른 두 허근”이라는 조건을 명시한다(40%) → ❸ 판별식을 풀어 범위를 쓴다(30%).
❷의 문장을 빼고 곧장 판별식만 계산하면 배점의 절반 가까이를 잃습니다. 계산보다 “왜 허근이어야 하는가”를 한 줄 적는 게 점수입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 수직인 직선의 기울기를 −(k+1)로 쓴다
    두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1입니다. 부호만 뒤집는 게 아니라 역수까지 취해야 −1/(k+1)이 됩니다. k≠−1이라는 단서가 붙은 이유도 여기에 있습니다.
  • D ≤ 0으로 쓴다
    D=0이면 이차방정식이 중근을 가져 교점이 하나 더 생깁니다. 그러면 곡선과 직선은 두 점에서 만나므로 조건 위반. 등호는 절대 들어가지 않습니다.
  • 분수부등식을 그냥 (k+1) 곱해서 푼다
    k+1의 부호를 모르는 상태에서 곱하면 부등호 방향이 무너집니다. B/A<0 ⟺ AB<0을 써서 (k+1)(3k−1)>0으로 바꾼 뒤 푸세요.
  • kx²+x+1/(k+1)=0을 이차방정식이라 부르면서 k≠0을 확인하지 않는다
    k=0이면 f(x)=x(x−1)이 되어 삼차함수라는 전제부터 깨집니다. 최종 범위에 0이 들어있지 않아 답은 같지만, 서술형에서는 한 줄 짚고 가는 편이 안전합니다.
  • x=1을 “구해야 할 교점”으로 착각한다
    점 A는 처음부터 주어진 교점입니다. 우리가 통제할 대상은 남은 이차방정식이 실근을 만들지 않게 하는 것뿐입니다.


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