쎈미적분1 0416

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 접선의 방정식

0416
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한 직선 위 세 점의 길이의 비
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쎈 미적분1 0416번 문제

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출제의도

P, Q, R가 같은 직선 위에 있다는 것을 알아채면 거리 공식이 필요 없는 문제

Q는 접선과 y축의 교점, R는 접선과 곡선의 두 번째 교점입니다. 세 점 모두 접선 위에 있으므로 길이의 비는 곧 x좌표 차의 비입니다. 그림에 속아 곡선 위의 거리로 생각하는 순간 문제가 어려워집니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 접선과 Q
f(x)=x³−2x+1에서 f′(x)=3x²−2이므로 P(1, 0)에서의 기울기는 f′(1)=1입니다. 접선은 y=x−1.
Q는 이 직선이 y축과 만나는 점이므로 x=0을 넣으면 바로 나옵니다.
힌트 2 — R 찾기
x³−2x+1=x−1을 정리하면 x³−3x+2=0입니다. 접점 x=1은 중근이므로 (x−1)²(x+2) 꼴.
남는 근 x=−2가 R의 x좌표입니다. y좌표는 곡선이 아니라 접선 y=x−1에 넣는 것이 빠릅니다.
힌트 3 — 거리 공식을 쓰지 않는 길
P(1, 0), Q(0, −1), R(−2, −3)은 모두 직선 y=x−1 위에 있습니다. 한 직선 위의 점들 사이의 거리 비는 x좌표 차의 비와 같습니다.
PQ : QR = |1−0| : |0−(−2)| = 1 : 2. 루트 계산을 아예 하지 않아도 됩니다.

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정답 ①  PQ : QR = 1 : 2

쎈 미적분1 0416번 해설

더 빠른 길 — x좌표 차의 비

세 점이 기울기 m인 한 직선 위에 있으면 두 점 사이의 거리는 항상 √(1+m²)×(x좌표 차)입니다. 공통인 √(1+m²)은 비를 구할 때 약분되어 사라집니다.
따라서 P(x=1), Q(x=0), R(x=−2)만 적어 두면 1 : 2가 즉시 나옵니다. R의 x좌표 −2도 근과 계수의 관계(세 근의 합=0, 1+1+β=0)로 인수분해 없이 구할 수 있습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • R의 y좌표를 곡선에 대입해서 구한다
    (−2)³−2(−2)+1처럼 항이 늘어나면 부호 실수가 늘어납니다. R도 접선 위의 점이므로 y=x−1에 넣어 −3으로 끝내세요.
  • x=1이 중근임을 놓치고 3차방정식을 처음부터 푼다
    접점의 x좌표는 연립방정식의 중근입니다. x³−3x+2=(x−1)²(x+2)가 즉시 확정됩니다.
  • 거리 공식을 세 번 계산하다 시간을 버린다
    세 점이 한 직선 위에 있으면 x좌표 차의 비가 곧 길이의 비입니다. √2와 2√2를 굳이 구하지 않아도 답이 나옵니다.
  • 비의 순서를 뒤집어 2 : 1로 답한다
    물은 것은 PQ : QR입니다. 앞이 P—Q, 뒤가 Q—R. 그림에서 Q가 가운데라는 위치를 확인하고 순서를 고정하세요.
  • Q를 곡선과 y축의 교점으로 잡는다
    Q는 접선이 y축과 만나는 점입니다. 곡선에 x=0을 넣으면 (0, 1)이 나와 전혀 다른 점이 됩니다.


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