쎈미적분1 0415

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 접선의 방정식

0415
난이도 중
서술형
접선을 두 번 구하기
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쎈 미적분1 0415번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

같은 작업을 두 번 하되, 그 사이에 중근 인수분해를 끼워 넣는 문제

구조는 단순합니다. ① (2, 0)에서 접선을 구한다 → ② 그 접선이 곡선과 다시 만나는 점 P를 찾는다 → ③ P에서 다시 접선을 구한다. 서술형이므로 세 단계가 답안에 그대로 드러나야 점수가 됩니다. 여기서 f′(2)=0이라 첫 접선이 y=0이 되는데, 이 특수함에 당황하지 않는 것이 관건입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 기울기가 0이어도 접선이다
f(x)=x³−3x²+4에서 f′(x)=3x²−6x이므로 f′(2)=0입니다. 기울기가 0이라고 해서 문제가 잘못된 것이 아닙니다.
기울기 0인 접선은 x축과 평행한 직선, 즉 y=0입니다. 이 줄을 먼저 답안에 적으세요.
힌트 2 — P 찾기
y=0과 곡선을 연립하면 x³−3x²+4=0입니다. 접점 x=2는 중근이므로 (x−2)²(x+□) 꼴로 묶입니다.
상수항 4가 (−2)²×□와 같아야 한다는 점에서 □를 정하면, 남는 근이 P의 x좌표입니다. P의 y좌표는 접선 y=0 위에 있으니 그냥 0입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
P(−1, 0)에서 다시 접선을 구합니다. f′(−1)=3(−1)²−6(−1)=3+6=9.
y−0=9{x−(−1)}에서 괄호 안의 부호를 특히 조심하세요. 답은 직선의 방정식 꼴로 끝까지 정리해 적어야 합니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 y = 9x + 9

쎈 미적분1 0415번 해설 1
쎈 미적분1 0415번 해설 2

서술형 답안, 이렇게 끊어 쓰세요

채점 기준이 세 덩어리(30%·30%·40%)로 나뉩니다. 답만 맞히면 만점이 아니라, 세 문장이 각각 보여야 점수가 붙습니다.
① f′(2)=0이므로 (2, 0)에서의 접선은 y=0이다. ② y=0과 곡선을 연립하여 (x+1)(x−2)²=0, 따라서 P(−1, 0)이다. ③ f′(−1)=9이므로 구하는 접선은 y=9x+9이다.
특히 ②에서 “x=2는 접점이므로 중근”이라는 근거를 한 줄 덧붙이면 감점 여지가 사라집니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 기울기가 0이라 접선을 못 구했다고 생각한다
    f′(2)=0은 오류가 아니라 수평접선입니다. y=0이라고 당당하게 쓰세요. 여기서 멈추면 30%를 통째로 잃습니다.
  • x³−3x²+4를 조립제법으로 헤맨다
    접점 x=2가 중근이라는 것을 쓰면 (x−2)²(x+1)이 바로 보입니다. 남은 인수는 상수항 4=4×1로 맞춰 확인하면 됩니다.
  • P의 좌표를 (2, 0)으로 쓴다
    (2, 0)은 처음 접점입니다. “다시 만나는 점”은 나머지 근 x=−1 쪽입니다. 두 점을 답안에서 명확히 구분해 적으세요.
  • f′(−1)에서 부호를 흘린다
    3(−1)²−6(−1)은 3−(−6)=9입니다. −6x에 음수를 대입하면 양수가 된다는 점, 여기서 3으로 잘못 쓰는 답안이 가장 많습니다.
  • y−0=9{x−(−1)}을 y=9x−9로 정리한다
    괄호 안의 −(−1)은 +1입니다. 전개하면 y=9x+9. 마지막에 P(−1, 0)을 다시 대입해 0=−9+9가 맞는지 1초만 검산하세요.
  • 답을 P의 좌표로 끝낸다
    물은 것은 “점 P에서의 접선의 방정식”입니다. 좌표만 적고 끝내면 40% 항목이 통째로 비게 됩니다.


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