쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 접선의 방정식
0414
난이도 하
접선이 곡선과 다시 만나는 점
풀이영상 있음
난이도 하
접선이 곡선과 다시 만나는 점
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먼저 보고 싶다면
풀이영상
문제를 읽자마자
출제의도
접점에서는 반드시 중근이 생긴다는 사실을 쓰라는 문제
접선을 구하는 것까지는 누구나 합니다. 진짜 물음은 그 다음, 곡선과 접선을 연립한 3차방정식을 어떻게 푸느냐입니다. 접점 x=1은 이미 알고 있는 근이고, 그것도 중근입니다. (x−1)²로 묶이는 구조를 미리 알고 인수분해하면 계산이 한 줄로 끝납니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 접선부터
점 B를 찾으려면 먼저 접선이 있어야 합니다. f(x)=x³+2에서 f′(x)=3x²이므로 A(1, 3)에서의 기울기는 f′(1)=3입니다.
y−3=3(x−1)을 정리하면 접선은 어떤 식이 되나요?
y−3=3(x−1)을 정리하면 접선은 어떤 식이 되나요?
힌트 2 — 연립, 그리고 중근
접선 y=3x와 곡선 y=x³+2를 연립하면 x³−3x+2=0입니다. 여기서 조립제법을 두 번 돌릴 필요가 없습니다.
A가 접점이므로 x=1은 이 방정식의 중근입니다. 즉 (x−1)²(x+□) 꼴로 반드시 묶입니다. 상수항 2를 보고 □를 채워 보세요.
A가 접점이므로 x=1은 이 방정식의 중근입니다. 즉 (x−1)²(x+□) 꼴로 반드시 묶입니다. 상수항 2를 보고 □를 채워 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x=−2가 나왔다면 B의 y좌표를 구할 차례입니다. B는 곡선 위의 점이자 접선 위의 점이므로 y=3x에 대입하는 쪽이 훨씬 빠릅니다(3차식에 대입하지 마세요).
B(−2, −6)을 얻은 뒤 A(1, 3)과의 거리 공식을 쓰고, √90을 반드시 3√10까지 정리하세요.
B(−2, −6)을 얻은 뒤 A(1, 3)과의 거리 공식을 쓰고, √90을 반드시 3√10까지 정리하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ AB = 3√10
더 빠른 길 — 근과 계수의 관계
x³−3x+2=0에는 x²항이 없으므로 세 근의 합은 0입니다. 접점 x=1이 중근이니 근은 1, 1, β이고 1+1+β=0에서 β=−2.
인수분해를 하지 않고도 B의 x좌표가 바로 나옵니다. 곡선 y=x³+px+q와 접선 문제에서는 이 방법이 거의 항상 통합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x=1이 중근이라는 걸 모른 채 3차방정식과 씨름한다
접선과 곡선을 연립하면 접점의 x좌표는 반드시 중근입니다. 이 한 줄을 알면 인수분해가 (x−1)²(x+2)로 즉시 결정됩니다. -
B의 y좌표를 3차식에 대입해서 구한다
틀린 방법은 아니지만 (−2)³+2 계산에서 부호 실수가 잦습니다. B는 접선 위에도 있으므로 y=3x에 넣어 −6으로 끝내세요. -
A 자신을 B로 착각한다
문제는 “A가 아닌 점”을 B라고 했습니다. 중근 x=1은 A이고, 답으로 쓸 것은 나머지 근 x=−2입니다. -
거리 공식에서 좌표 차의 순서를 헷갈린다
(−2−1)²과 (−6−3)²처럼 어느 쪽에서 빼든 제곱하면 같습니다. 부호가 걱정되면 항상 “B−A”로 순서를 고정해 두세요. -
√90에서 멈춘다
선택지는 모두 근호가 정리된 꼴입니다. 90=9×10이므로 3√10. 근호 안이 답과 다르면 약분이 덜 된 것입니다.
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