쎈미적분1 0413

작성자:

쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 05 접선이 곡선과 다시 만나는 점

0413
대표문제
접선과 곡선의 교점
풀이영상 있음

먼저 보고 싶다면

풀이영상

곡선 y = −x³ + 6x² − 9x − 12 위의 점 (0, −12)에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점의 좌표가 (a, b)일 때, b/a의 값을 구하시오.

문제를 읽자마자

출제의도

접점의 x좌표는 중근이다 — 그래서 삼차방정식이 저절로 인수분해된다

“다시 만나는 점”은 방정식 f(x) = g(x)의 근 중 접점이 아닌 나머지 근입니다. 접한다는 조건이 x = 0을 중근으로 만들어 주기 때문에, 삼차방정식을 풀 걱정 없이 x²로 묶으면 끝납니다. 유형 05 전체가 이 한 문장 위에 서 있습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 접선부터
주어진 점 (0, −12)는 곡선 위의 점입니다(f(0) = −12 확인). 곡선 위의 점에서의 접선이므로 공식 y − f(0) = f′(0)(x − 0)을 그대로 쓰면 됩니다.
f′(x) = −3x² + 12x − 9에서 f′(0)은?
힌트 2 — “다시 만나는 점”의 뜻
접선은 y = −9x − 12입니다. 다시 만나는 점의 x좌표는 −x³ + 6x² − 9x − 12 = −9x − 12의 근 중 x ≠ 0인 것입니다.
양변을 정리해 보세요. 일차항과 상수항이 통째로 사라집니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x³ − 6x² = 0, 즉 x²(x − 6) = 0. x = 0이 중근으로 나오는 것은 오류가 아니라 그 점에서 접한다는 증거입니다.
남은 근 x = 6을 곡선 식(또는 접선 식)에 넣어 b를 구한 뒤, 묻는 것이 a도 b도 아닌 b/a임을 다시 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 −11  (a = 6, b = −66)

쎈 미적분1 0413번 해설

인수분해 없이 — 근과 계수의 관계

정리된 식 x³ − 6x² = 0에서 세 근의 합은 6입니다. 접점 x = 0이 중근이므로 근은 0, 0, β이고 따라서 β = 6.
일반형으로 외워 두면 편합니다. 삼차항의 계수가 1이 되도록 정리했을 때 2 × (접점의 x좌표) + (다시 만나는 점의 x좌표) = −(이차항의 계수). 곡선과 접선을 뺀 식이 (x − α)²(x − β) 꼴이라는 사실 하나면 나오는 관계입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 중근 x = 0을 답으로 쓴다
    x = 0은 접점입니다. 문제가 요구한 것은 x ≠ 0인 근, 즉 x = 6입니다.
  • b를 구하다 계산이 어긋난다
    f(6) = −216 + 216 − 54 − 12 = −66. 접선에 대입한 −9·6 − 12 = −66과 일치하는지 검산하면 1초 만에 확인됩니다.
  • 접선의 상수항을 빠뜨린다
    y = −9x가 아니라 y = −9x − 12입니다. 절편이 빠지면 정리한 식에서 상수항이 남아 x²로 묶이지 않습니다.
  • f′(x)에서 −9의 미분을 잘못 처리한다
    f′(x) = −3x² + 12x − 9입니다. 상수 −12는 사라지지만 −9x의 −9는 그대로 남습니다.
  • b/a와 a/b를 뒤집는다
    a = 6, b = −66이므로 b/a = −11입니다. 11이나 −1/11로 적지 않도록 마지막에 한 번 더 읽으세요.


쎈 미적분Ⅰ 전체 문항 해설 모아보기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기