쎈미적분1 0404

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 여러 가지 미분법

0404
난이도 중
두 접선의 교점
서술형
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쎈 미적분1 0404번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

접선을 두 번 세우고 연립하라 — 새로운 개념은 없고, 과정을 적는 문제

두 점 (1, 4), (2, 5)는 모두 곡선 위의 점, 즉 접점이 이미 주어진 상태입니다. 미지수를 세울 일도, 판별식을 쓸 일도 없습니다. 같은 작업을 두 번 반복하고 마지막에 연립방정식을 푸는 것이 전부이고, 서술형이므로 직선 l의 식 40%, 직선 m의 식 40%, 교점 20%로 과정 자체에 점수가 붙어 있습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 접점이 이미 주어졌다
(1, 4)와 (2, 5)를 곡선에 넣어 보세요. 1−2+5=4, 8−8+5=5로 둘 다 곡선 위의 점입니다.
곡선 밖의 점에서 그은 접선이 아니므로 접점을 (t, f(t))로 놓고 헤맬 필요가 없습니다. 바로 기울기로 가세요.
힌트 2 — 기울기 두 개
f′(x)=3x²−4x입니다.
f′(1)=3−4=−1, f′(2)=12−8=4.
점과 기울기가 모두 나왔으니 y−y₁=m(x−x₁) 꼴로 각각 한 줄씩 적으세요. 이 두 줄이 배점의 80%입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
l: x+y−5=0, m: 4x−y−3=0이 되었나요? 두 식을 변변 더하면 y가 사라져 5x−8=0.
x=8/5를 구한 뒤 반드시 y까지 구하세요. 문제가 요구한 것은 x값이 아니라 교점의 좌표입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 (8/5, 17/5)

쎈 미적분1 0404번 해설

서술형 답안 — 이 세 줄이 채점 포인트

① f′(1)=−1이므로 l: x+y−5=0 (40%)
② f′(2)=4이므로 m: 4x−y−3=0 (40%)
③ ①, ②를 연립하여 교점 (8/5, 17/5) (20%)
암산으로 건너뛴 줄은 점수가 없습니다. f′(x)=3x²−4x와 대입 과정을 눈에 보이게 적으세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 과정을 생략하고 교점만 적는다
    서술형에서 가장 크게 잃는 유형입니다. 답이 맞아도 l, m의 방정식을 적지 않으면 80%가 날아갑니다. 두 직선의 식은 반드시 별도의 줄로 남기세요.
  • 접선을 y=f′(a)(x−a)로 쓴다
    접점의 y좌표가 통째로 빠진 식입니다. y−4=−(x−1)처럼 좌변에 y₁을 꼭 붙이세요. 이 실수는 답이 그럴듯하게 나와서 검산으로도 잘 안 잡힙니다.
  • f′(1)의 부호를 놓친다
    3(1)²−4(1)=−1입니다. +1로 잡으면 l이 x−y+3=0이 되어 교점이 통째로 달라집니다. 3x²−4x에서 −4x의 마이너스를 눈으로 짚으세요.
  • x=8/5까지만 구하고 멈춘다
    문제가 요구한 것은 좌표입니다. y=5−8/5=17/5까지 구해 순서쌍으로 적어야 완결됩니다.
  • 연립에서 분수 계산을 흘린다
    두 식을 변변 더해 y부터 소거하면 5x=8로 한 번에 끝납니다. 대입법으로 가면 분수가 중간에 끼어 계산 실수가 늘어납니다.


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