쎈미적분1 0403

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 여러 가지 미분법

0403
난이도 하
곡선 위의 점에서의 접선
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쎈 미적분1 0403번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

접선을 구하는 게 끝이 아니라, 그 접선에 다른 점을 대입하라는 문제

접선의 방정식 3단(접점 확정 → 기울기 f′ → 직선 세우기)을 끝낸 뒤, 한 걸음이 더 남아 있습니다. 점 (2, a)는 곡선 위의 점이 아니라 접선 위의 점이고, a는 그 직선에 x=2를 넣은 함숫값입니다. 곱의 형태 (x+1)(x²−2)를 미분할 수 있는지도 함께 봅니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 접점부터 완성하기
문제는 x좌표만 줬습니다. 접선을 세우려면 점이 필요하니 y좌표부터 구하세요.
f(−1)=(−1+1)(1−2)의 값은 얼마인가요? 앞 괄호가 0이라는 점을 보세요.
힌트 2 — 기울기 구하기
곱의 꼴이므로 (fg)′=f′g+fg′를 씁니다.
f′(x)=(x²−2)+(x+1)·2x=3x²+2x−2.
여기에 x=−1을 넣을 때 (−1)²=1이라는 것만 조심하면 됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
접점 (−1, 0), 기울기 −1이므로 접선은 y=−x−1입니다.
문제가 물은 a는 이 직선 위의 점 (2, a)의 y좌표입니다. 곡선이 아니라 접선에 x=2를 대입하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ①  a = −3

쎈 미적분1 0403번 해설

더 빠른 길 — 전개하고 미분하기

(x+1)(x²−2)=x³+x²−2x−2로 먼저 전개하면 f′(x)=3x²+2x−2가 곧바로 나옵니다.
곱의 미분법이 아직 손에 익지 않았다면 3차식은 전개가 더 안전합니다. 계산량도 거의 같습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 점 (2, a)를 곡선 위의 점으로 착각한다
    곡선에 넣으면 a=(2+1)(4−2)=6이 나옵니다. 선택지에 없다고 다시 풀지 말고, 문제 문장의 “접선이 점 (2, a)를 지날 때”를 먼저 다시 읽으세요.
  • 접점의 y좌표를 확인하지 않는다
    x=−1만 들고 접선을 세울 수는 없습니다. f(−1)=0을 구해 접점 (−1, 0)을 확정한 뒤에 직선을 씁니다.
  • 곱을 그대로 각각 미분한다
    (fg)′=f′g′가 아닙니다. f′g+fg′ 또는 전개 후 미분, 둘 중 하나로 고정하세요.
  • f′(−1)에서 부호를 흘린다
    3(−1)²+2(−1)−2에서 (−1)²=1입니다. 3−2−2=−1. 여기서 +1로 잘못 잡으면 답이 ⑤ 방향으로 갑니다.
  • a를 기울기로 답한다
    기울기는 −1, 답은 −3입니다. 구한 값이 무엇의 값인지 마지막에 한 번 소리 내어 확인하세요.


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