쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식
0402
대표 문제
접점의 좌표가 주어진 경우
풀이영상 있음
대표 문제
접점의 좌표가 주어진 경우
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문제를 읽자마자
출제의도
접선을 구하기 전에, “점이 곡선 위에 있다”를 먼저 써서 미지수 a부터 없애라는 문제
접점이 주어진 접선 문제의 표준 절차는 ① 기울기 f′(a)를 구하고 ② y−b=f′(a)(x−a)에 대입하는 두 단계입니다. 그런데 이 문제는 곡선 안에 미지수 a가 남아 있어서 절차를 그대로 시작하면 f′(1)=−6+a로 막힙니다. 점 (1, −1)이 곡선 위의 점이라는 조건, 즉 f(1)=−1이 먼저 쓰여야 한다는 순서 감각이 이 대표문제의 핵심입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 아직 쓰지 않은 조건 찾기
미분부터 했다면 잠시 멈추세요. 곡선에 미지수 a가 들어 있는 한 기울기가 숫자로 나오지 않습니다.
문제에 “곡선 위의 점 (1, −1)”이라고 적혀 있습니다. 이 문장을 등식 하나로 옮기면 무엇이 되나요?
문제에 “곡선 위의 점 (1, −1)”이라고 적혀 있습니다. 이 문장을 등식 하나로 옮기면 무엇이 되나요?
힌트 2 — a를 확정하기
f(1)=−1이므로 −2+a−3=−1. 여기서 a가 나옵니다.
a를 구한 뒤에야 f′(x)=−6x²+a가 완전한 식이 되고, x=1을 대입해 접선의 기울기를 숫자로 얻을 수 있습니다.
a를 구한 뒤에야 f′(x)=−6x²+a가 완전한 식이 되고, x=1을 대입해 접선의 기울기를 숫자로 얻을 수 있습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
기울기가 나오면 y−(−1)=f′(1)(x−1)에 넣어 y=bx+c 꼴로 정리하세요.
정리한 뒤 b와 c를 따로 적어 놓고, 문제가 요구한 (a+b)/c를 계산하세요. 세 문자를 한꺼번에 머릿속에서 처리하면 꼭 하나가 어긋납니다.
정리한 뒤 b와 c를 따로 적어 놓고, 문제가 요구한 (a+b)/c를 계산하세요. 세 문자를 한꺼번에 머릿속에서 처리하면 꼭 하나가 어긋납니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 2 (a=4, b=−2, c=1)
풀이영상
10초 검산 — b+c의 값
접선 y=bx+c는 점 (1, −1)을 지납니다. 따라서 x=1을 대입하면 반드시 b+c=−1이어야 합니다.
구한 b=−2, c=1을 더하면 −1. 맞습니다. 접선을 전개하다 부호를 흘렸는지 이 한 줄로 즉시 잡아낼 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
미분부터 하고 a에서 막힌다
f′(1)=−6+a까지 가서 멈추는 답안이 가장 많습니다. 곡선에 미지수가 남아 있으면 “점이 곡선 위에 있다”가 항상 1번입니다. 순서만 바꿔도 문제가 풀립니다. -
f(1) 계산에서 부호를 흘린다
f(1)=−2·1³+a·1−3=a−5입니다. 이것이 −1이므로 a=4. −2를 +2로 쓰거나 −3을 빠뜨리면 a=2, a=6 같은 값이 나옵니다. -
공식의 문자와 문제의 문자를 섞는다
공식 y−b=f′(a)(x−a)의 a, b는 접점의 좌표이고, 이 문제의 a, b, c는 전혀 다른 상수입니다. 공식을 쓸 때는 y−(−1)=f′(1)(x−1)처럼 숫자를 바로 넣어 문자 충돌을 없애세요. -
접선을 전개하다 상수항을 틀린다
y+1=−2(x−1) → y=−2x+2−1=−2x+1. 여기서 −2x+3이나 −2x−1이 나왔다면 이동시킨 +1의 부호 문제입니다. -
b를 −2가 아닌 2로 읽는다
y=bx+c에서 b는 기울기이고 부호까지 포함합니다. b=−2입니다. 부호를 놓치면 (a+b)/c가 2가 아니라 6이 됩니다. -
(a+b)/c를 a+(b/c)로 계산한다
분자는 a+b 전체입니다. (4−2)/1=2. 값을 대입하기 전에 분자에 괄호를 먼저 쳐 두세요.