쎈수학 미적분Ⅰ · 04 접선의 방정식
0401
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접선의 기울기의 최댓값
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문제를 읽자마자
출제의도
기울기의 최댓값이 먼저 주어진 역방향 문제 — f′(x)의 꼭짓점 값을 k로 표현해 방정식을 세우라는 문제
바로 앞 문항이 “최솟값은 얼마인가”였다면, 이번엔 “최댓값이 6이 되게 하는 k는?”입니다. 방향만 뒤집혔을 뿐 손이 하는 일은 같습니다. f′(x)=−½x²+3x+k를 완전제곱해 꼭짓점의 y값을 k가 들어간 식으로 만든 뒤, 그것을 6과 등식으로 놓으면 끝입니다. x²의 계수가 음수라는 점이 “최대”라는 단어와 짝을 이룹니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 직선 l의 정체
“기울기가 최대인 접선 l”에서 직선 l의 방정식을 구할 필요는 없습니다. 필요한 것은 기울기 하나뿐이고, 접선의 기울기는 f′(x)입니다.
따라서 조건은 “f′(x)의 최댓값이 6″으로 다시 쓸 수 있습니다.
따라서 조건은 “f′(x)의 최댓값이 6″으로 다시 쓸 수 있습니다.
힌트 2 — 분수 계수 미분
f(x)=−⅙x³+ 3/2 x²+kx−1을 미분하면 f′(x)=−½x²+3x+k입니다. (−⅙×3=−½, 3/2×2=3, kx→k, 상수 −1은 사라짐)
x²의 계수 −½은 음수이므로 위로 볼록. 최댓값은 꼭짓점에 있습니다.
x²의 계수 −½은 음수이므로 위로 볼록. 최댓값은 꼭짓점에 있습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
−½을 묶어 완전제곱하세요. −½(x²−6x)+k → −½(x−3)²+ 9/2 +k.
최댓값이 9/2+k이므로 9/2+k=6. 여기서 k를 구하면 됩니다. 9/2를 그냥 흘려보내지 마세요.
최댓값이 9/2+k이므로 9/2+k=6. 여기서 k를 구하면 됩니다. 9/2를 그냥 흘려보내지 마세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 k = 3/2
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더 빠른 길 — 변곡점 대입
삼차함수에서 접선의 기울기가 최대·최소가 되는 지점은 항상 변곡점입니다. f″(x)=−x+3=0에서 x=3.
f′(3)=−½·9+9+k=−9/2+9+k=9/2+k이고, 이 값이 6이므로 k=3/2. 완전제곱을 생략하고 대입 한 번으로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
분수 계수 미분에서 계수를 흘린다
−⅙x³의 도함수는 −½x², 3/2 x²의 도함수는 3x입니다. −⅓x²이나 3/2 x로 적었다면 뒤의 완전제곱이 전부 어긋납니다. 미분 직후 계수 두 개를 소리 내어 확인하세요. -
위로 볼록인지 확인하지 않고 최솟값을 구한다
x²의 계수가 −½<0이므로 f′(x)에는 최댓값만 존재하고 최솟값은 없습니다. 문제가 “최대”라고 했는데 최솟값 공식으로 들어가면 부호가 통째로 뒤집힙니다. -
−½을 묶을 때 괄호 안 부호를 틀린다
−½x²+3x = −½(x²−6x)입니다. −½(x²+6x)로 쓰면 꼭짓점이 x=−3으로 잘못 나옵니다. 묶어낸 뒤 다시 전개해 3x가 나오는지 검산하세요. -
9/2를 빼먹고 k=6이라 답한다
최댓값은 k가 아니라 9/2+k입니다. 상수항 k와 완전제곱에서 생긴 9/2를 반드시 함께 묶어 등식을 세우세요. -
상수항 −1이 계산에 영향을 준다고 생각한다
미분하면 상수항은 사라집니다. −1은 곡선의 위치만 위아래로 옮길 뿐 접선의 기울기에는 전혀 관여하지 않습니다. -
직선 l의 방정식을 구하려 시간을 쓴다
문제가 요구한 것은 k뿐입니다. 접점의 좌표나 l의 방정식은 답에 필요하지 않습니다. 구할 것만 구하고 넘어가세요.