쎈미적분1 0360

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0360
난이도 중
교육청 기출
미분계수의 정의 · 곱의 미분법

쎈 미적분1 0360번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

분모가 0으로 가는 극한을 미분계수의 정의로 되돌려 읽으라는 문제

f와 g를 따로 보면 미지수가 너무 많습니다. f(x)g(x)를 h(x) 한 덩어리로 묶으면 조건 (가)는 h′(1)=8 그 자체가 되고, 곱의 미분법을 펴는 순간 f′(1)이 g(1), g′(1)과 함께 한 식에 들어옵니다. 조건 (나)는 그 g를 완전히 결정해 주는 마지막 퍼즐입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 가장 먼저 뽑아낼 수 있는 값
(가)에서 x→1일 때 분모 x−1은 0으로 갑니다. 그런데 극한값 8이 존재합니다.
그렇다면 분자도 0으로 가야 합니다. f, g는 다항함수라 연속이므로 x=1을 그냥 대입할 수 있습니다. 여기서 f(1)g(1) 값이 하나 확정됩니다.
힌트 2 — 극한을 미분계수로 바꾸기
f(1)g(1)=−4를 얻었다면, 분자의 +4는 −f(1)g(1)과 같은 말입니다. 즉 (가)는
limx→1 {f(x)g(x) − f(1)g(1)} / (x−1) = 8
h(x)=f(x)g(x)로 두면 이것은 정확히 h′(1)=8입니다. 이제 곱의 미분법 (fg)′=f′g+fg′를 x=1에서 쓰세요.
힌트 3 — 조건 (나)로 g를 확정하기
g는 일차함수이므로 g(x)=ax+b (a≠0), g′(x)=a입니다. (나)의 g(0)=g′(0)은 b=a라는 뜻입니다.
한편 f(1)=−2와 f(1)g(1)=−4에서 g(1)=2. g(x)=ax+a에 x=1을 넣으면 2a=2이므로 a가 정해집니다. g(1)과 g′(1)을 힌트 2의 식에 대입하면 f′(1)만 남습니다.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ①  f′(1) = 5

쎈 미적분1 0360번 해설

더 빠른 길 — g를 먼저 완성하고 들어가기

g(1)=2와 b=a에서 a=1이므로 g(x)=x+1이 곧바로 확정됩니다. 그러면 (가)는
limx→1 [f(x)(x+1) + 4] / (x−1) 이고, f(1)·2+4=0이므로 분자는 f(x)(x+1) − f(1)·(1+1).
미분계수의 정의로 이 값은 {f(x)(x+1)}′의 x=1에서의 값, 즉 f′(1)·2 + f(1)·1 = 2f′(1) − 2 입니다. 이것이 8이므로 f′(1)=5. h(x)를 따로 두지 않고 한 줄로 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • “분자→0” 확인을 건너뛴다
    f(1)g(1)=−4는 이 한 줄에서만 나옵니다. 근거 없이 값을 가져다 쓰면 뒤의 계산이 전부 무근거가 됩니다. 서술형이라면 확실한 감점 지점입니다.
  • 곱의 미분법에서 한 항을 흘린다
    (fg)′(1) = f′(1)g(1) + f(1)g′(1)입니다. 앞 항만 쓰면 2f′(1)=8에서 f′(1)=4가 나옵니다. 보기에 없는 값이 아니라 ④로 버젓이 있으니 더 위험합니다.
  • g(0)=g′(0)을 g(0)=0으로 읽는다
    g′(0)은 0이 아니라 일차함수의 기울기 a입니다. g(x)=ax+b에서 b=a, 즉 y절편과 기울기가 같다는 조건입니다.
  • f(1)g′(1)의 부호를 놓친다
    f(1)=−2이므로 f(1)g′(1) = (−2)×1 = −2입니다. +2로 옮겨 적으면 2f′(1)=6이 되어 f′(1)=3, 답이 통째로 달라집니다.
  • f(x)의 식을 구하려 한다
    f는 차수도 계수도 주어지지 않은 “어떤 다항함수”입니다. 끝까지 필요한 정보는 f(1)과 f′(1) 두 개뿐이라는 걸 처음부터 인식하고 들어가야 시간을 벌 수 있습니다.


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