쎈미적분1 0359

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0359
난이도 상
도함수의 그래프
54쪽 유형 12

쎈 미적분1 0359번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

점 P를 좌표가 아니라 네 변까지의 거리로 잡고, 넓이가 늘어나는 속도를 비교하라는 문제

색칠한 영역이 주는 정보는 P의 정확한 위치가 아닙니다. “어느 변에 더 가까운가”라는 대소 관계뿐입니다. 한편 f(x)는 삼각형 넓이가 쌓인 것이라 각 변 위에서는 일차식이고, 따라서 f′(x)는 값 네 개짜리 계단이 됩니다. 결국 이 문제는 그 네 값의 크기 순서를 정하는 것이 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇을 미지수로 둘 것인가
P를 (p, q) 같은 좌표로 두려 했다면 방향을 바꾸세요. 이 문제에서 쓰이는 건 거리입니다.
점 P에서 두 변 AB, BC까지의 거리를 a, b라 두면, 한 변의 길이가 1이므로 CD, DA까지의 거리는 자동으로 1−a, 1−b입니다. 미지수는 두 개면 충분합니다.
힌트 2 — f(x)의 정체와 f′(x)의 모양
Q가 A에서 변 AB를 따라 x만큼 내려갔을 때, 선분 PQ가 쓸고 지나간 부분은 삼각형 PAQ입니다. 밑변 x, 높이 a이므로 f(x) = (a/2)x.
Q가 다음 변으로 넘어가면 높이만 b로 바뀝니다. 즉 f는 구간마다 기울기가 다른 꺾인 직선이고, f′(x)는 구간 (0,1), (1,2), (2,3), (3,4)에서 각각 a/2, b/2, (1−a)/2, (1−b)/2인 계단입니다. 여기까지 왔다면 남은 일은 하나뿐입니다.
힌트 3 — 색칠한 영역이 말하는 것
P가 색칠한 조각 안에 있다는 조건을 부등식으로 옮기면 a < 1−a, 1−b < b, 1−a < b, 1−b < a 네 개가 나옵니다. 앞의 두 개만 쓰면 순서가 확정되지 않습니다. 네 개를 한 줄로 이으면
1−b < a < 1−a < b
각 변을 2로 나누면 그대로 f′ 값 네 개의 순서가 됩니다. 답으로 골라야 할 것은 구체적인 높이가 아니라 계단의 오르내림 순서입니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 ②

쎈 미적분1 0359번 해설 1
쎈 미적분1 0359번 해설 2

더 빠른 길 — 조건 두 개로 소거하기

순서 (1−b)/2 < a/2 < (1−a)/2 < b/2 에서 두 번째 구간이 가장 높고, 네 번째 구간이 가장 낮다는 것만 뽑아 보기를 훑으면 끝납니다.
①은 (0,1)에서 계단이 아니라 비스듬히 올라가므로 탈락, ④는 계속 올라가서 마지막 구간이 최대라 탈락, ⑤는 계속 내려가서 첫 구간이 최대라 탈락, ③은 (1,2)가 (0,1)보다 낮아 b/2 < a/2가 되어 모순. 남는 것은 ②뿐입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • P의 좌표를 잡고 시작한다
    좌표로 두면 삼각형 넓이를 낼 때마다 점과 직선 사이 거리 계산이 붙습니다. “정점에서 각 변까지의 거리”를 미지수로 두는 것이 이 유형의 기본 세팅입니다.
  • Q의 진행 방향을 반대로 잡는다
    시곗바늘이 도는 반대 방향, 즉 A→B→C→D 순입니다. 그림의 화살표도 A에서 아래로 향합니다. A→D로 출발하면 계단 값의 순서가 통째로 뒤집힙니다.
  • f의 그래프를 고른다
    보기는 y=f′(x)입니다. f는 계속 증가하는 꺾인 그래프이고, f′는 값이 네 개인 계단입니다. 보기가 전부 계단이라는 점 자체가 f′를 묻는다는 신호입니다.
  • 부등식을 두 개만 쓰고 순서를 확정한다
    a < 1−a, 1−b < b만으로는 a와 1−a, b의 위아래가 정해지지 않습니다. 대각선 방향 조건 1−a < b, 1−b < a까지 넣어야 한 줄로 이어집니다.
  • a, b의 값을 구하려고 붙잡는다
    a, b는 끝까지 정해지지 않습니다. 정해질 필요도 없습니다. 요구된 것은 “개형이 될 수 있는 것”이므로 대소 관계만 확정하면 답이 나옵니다.


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