쎈미적분1 0358

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0358
난이도 상
계단함수와의 곱
조건 해석형

쎈 미적분1 0358번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

말로 정의된 f를 구간별 상수함수로 옮겨 적으면, 조건 (가)와 (나)는 g의 근을 지정하는 문장이 된다

“x 이하의 자연수 중 짝수의 개수”는 x=2, 4, 6…에서 1씩 뛰는 계단함수입니다. 그러니 h=fg는 각 구간에서 상수배된 g일 뿐이고, 확인할 곳은 계단이 올라서는 x=2와 x=4뿐입니다. 조건 (가)는 g(4)=0을, (나)는 g(2)=0과 g′(2)=0을 줍니다. 삼차함수의 인수가 이 세 줄로 전부 결정됩니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — f를 식으로 옮겨 적기
머릿속으로 짐작하지 말고 손으로 쓰세요. x 이하의 짝수를 세는 것이므로
f(x)=0 (0<x<2), 1 (2≤x<4), 2 (4≤x<6), …
부등호 방향에 주의하세요. x=2에서 2 이하 짝수는 2 하나이므로 2부터 이미 1입니다. 그러면 h(x)=f(x)g(x)도 구간별로 0, g(x), 2g(x)로 적힙니다.
힌트 2 — 조건 (가) 읽기
x→4+에서 분모 x−4는 0으로 갑니다. 그런데 극한값이 8로 존재한다고 했으니 분자도 0으로 가야 합니다.
x→4+ 구간에서 h(x)=2g(x)이므로 2g(4)=0, 즉 g(4)=0. 인수 (x−4) 하나 확보.
힌트 3 — 조건 (나)에서 두 줄을 뽑기
x=2 왼쪽에서 h는 항등적으로 0입니다. 미분가능은 연속을 포함하므로 h(2)=g(2)=0이 먼저 나옵니다.
이어서 미분계수를 비교하세요. 좌미분계수는 0(왼쪽이 상수 0이므로), 우미분계수는 g′(2). 따라서 g′(2)=0.
g(2)=0이면서 g′(2)=0 → g는 (x−2)²을 인수로 갖습니다.
힌트 4 — 삼차함수를 완성하고 마무리
(x−4)와 (x−2)²을 모두 가진 삼차함수는 g(x)=a(x−2)²(x−4) 꼴로 끝납니다.
이제 (가)의 값 8을 써서 a를 결정하세요. x→4+에서 2g(x)/(x−4)의 극한을 계산하면 됩니다.
마지막으로 묻는 값은 g(3)이 아니라 h(3)입니다. 3은 어느 구간에 들어가고 f(3)은 얼마인가요?

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ①  h(3) = −1

쎈 미적분1 0358번 해설

더 빠른 길 — (x−2)²을 먼저 잡아 두기

교재는 g(x)=(x−4)(x−2)(ax+b)로 두고 두 조건에서 4a+b=2, 2a+b=0을 얻어 연립합니다. 그런데 조건 (나)에서 g(2)=0과 g′(2)=0을 동시에 읽어 두면 (x−2)²이 바로 확보되므로 미지수가 a 하나로 줄어듭니다.
g(x)=a(x−2)²(x−4)에서 (가): limx→4+ 2g(x)/(x−4) = 2a(4−2)² = 8a = 8 ⟹ a=1.
따라서 g(x)=(x−2)²(x−4)이고, f(3)=1이므로 h(3)=g(3)=1²·(−1)=−1. 연립 없이 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(x)를 옮겨 적지 않고 감으로 처리한다
    “짝수의 개수”를 x/2 비슷한 것으로 뭉뚱그리면 문제가 풀리지 않습니다. 구간과 함숫값을 세 줄만 적어도 h의 정체가 드러납니다.
  • 경계에서 부등호를 반대로 쓴다
    2≤x<4에서 f=1입니다. x=2를 왼쪽 구간에 넣어 버리면 조건 (나)에서 g(2)=0이 나오지 않습니다. “x 이하”이므로 경계점은 오른쪽 구간에 포함됩니다.
  • (가)에서 좌극한까지 함께 생각한다
    x→4+만 물었으므로 h(x)=2g(x)만 쓰면 됩니다. x→4−에서는 h=g라 값이 다르지만, 이 문제는 그 정보를 요구하지 않습니다.
  • (나)를 연속 조건만으로 끝낸다
    g(2)=0 한 줄만 뽑으면 미지수가 남아 g가 결정되지 않습니다. 왼쪽 h가 상수 0이라는 사실에서 좌미분계수 0 → g′(2)=0이라는 두 번째 줄이 반드시 나와야 합니다.
  • 삼차함수의 최고차항 계수를 1로 못 박는다
    “삼차함수 g(x)”라고만 했습니다. a를 미지수로 남겨 두고 조건 (가)의 값 8로 결정하세요.
  • g(3)을 구하고 답으로 적는다
    구하는 것은 h(3)=f(3)g(3)입니다. 이 문제는 f(3)=1이라 값이 같지만, 습관적으로 f를 곱하는 한 줄을 쓰는 학생이 유사 문항에서 살아남습니다.


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