쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0357
난이도 상
곱함수의 연속과 미분가능
수능 기출
난이도 상
곱함수의 연속과 미분가능
수능 기출
문제를 읽자마자
출제의도
f가 망가진 지점이 끊긴 곳인지 꺾인 곳인지에 따라, p가 몇 겹으로 0이 되어야 하는지가 달라진다
이 문제의 f는 x=0에서 값이 툭 끊기고, x=2에서는 이어지지만 기울기가 1에서 2로 꺾입니다. 성질이 다른 두 점을 한 문제에 넣어 두고, 곱 p(x)f(x)를 매끄럽게 만들려면 p가 각 점에서 어느 정도로 0이어야 하는지를 묻습니다. ㄷ은 “제곱했으니 인수도 제곱이겠지”라는 반사적 판단을 유도하는 함정입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — p보다 f를 먼저 조사하기
p는 미지의 다항식이라 손댈 것이 없습니다. 먼저 f를 x=0과 x=2에서만 조사하세요.
x=0: f(0)=0, 좌극한 0, 우극한 −1 → 값이 끊긴다(도약)
x=2: f(2)=1, 좌극한도 우극한도 1 → 이어진다. 대신 왼쪽 기울기 1, 오른쪽 기울기 2 → 꺾인다
두 점의 상태가 다르다는 것, 이게 문제 전체의 뼈대입니다.
x=0: f(0)=0, 좌극한 0, 우극한 −1 → 값이 끊긴다(도약)
x=2: f(2)=1, 좌극한도 우극한도 1 → 이어진다. 대신 왼쪽 기울기 1, 오른쪽 기울기 2 → 꺾인다
두 점의 상태가 다르다는 것, 이게 문제 전체의 뼈대입니다.
힌트 2 — ㄱ, 끊긴 곳을 이으려면
x=0에서 p(x)f(x)의 우극한은 p(0)·(−1), 좌극한과 함숫값은 p(0)·0=0입니다.
셋이 같아야 하므로 −p(0)=0. 도약의 폭이 p(0)배로 늘어난 것이므로, 폭을 0으로 만드는 방법은 p(0)=0뿐입니다.
셋이 같아야 하므로 −p(0)=0. 도약의 폭이 p(0)배로 늘어난 것이므로, 폭을 0으로 만드는 방법은 p(0)=0뿐입니다.
힌트 3 — ㄴ, 꺾인 곳을 펴려면
x=2에서 좌우 미분계수를 각각 정의로 계산해 보세요. f(2)=1을 먼저 대입해 두면 계산이 짧아집니다.
오른쪽은 2p(2)+p′(2), 왼쪽은 p(2)+p′(2)가 나옵니다. 차이는 p(2)×(2−1) 한 덩어리뿐.
즉 기울기 차이에 p(2)가 곱해진 형태이므로, 이를 없애려면 p(2)=0입니다.
오른쪽은 2p(2)+p′(2), 왼쪽은 p(2)+p′(2)가 나옵니다. 차이는 p(2)×(2−1) 한 덩어리뿐.
즉 기울기 차이에 p(2)가 곱해진 형태이므로, 이를 없애려면 p(2)=0입니다.
힌트 4 — ㄷ, {f(x)}²는 어디가 어떻게 망가졌나
f를 제곱한 함수를 다시 두 점에서만 조사하세요.
x=0: 왼쪽 x², 값 0, 오른쪽 (x−1)²→1 → 여전히 도약. 도약 지점에서 곱이 미분가능하려면 p(0)=0만으로는 부족하고 p′(0)=0까지 필요합니다(즉 x²의 배수).
x=2: 값 1로 이어지고 기울기만 2와 4로 다름 → 꺾임. 꺾임 지점은 p(2)=0 하나면 충분합니다.
그러면 p는 x²(x−2)의 배수면 되는데, 보기는 x²(x−2)²을 주장하고 있습니다. 반례를 만들어 보세요.
x=0: 왼쪽 x², 값 0, 오른쪽 (x−1)²→1 → 여전히 도약. 도약 지점에서 곱이 미분가능하려면 p(0)=0만으로는 부족하고 p′(0)=0까지 필요합니다(즉 x²의 배수).
x=2: 값 1로 이어지고 기울기만 2와 4로 다름 → 꺾임. 꺾임 지점은 p(2)=0 하나면 충분합니다.
그러면 p는 x²(x−2)의 배수면 되는데, 보기는 x²(x−2)²을 주장하고 있습니다. 반례를 만들어 보세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ② ㄱ, ㄴ
더 빠른 길 — 두 문장으로 세 보기를 한꺼번에
다항식 p와 임의의 함수 g에 대해 다음 두 문장만 외워 두면 계산 없이 판정됩니다.
① g가 x=a에서 끊겨 있으면 → pg가 a에서 연속이려면 p(a)=0, 미분가능하려면 p(a)=p′(a)=0, 즉 (x−a)²의 배수.
② g가 x=b에서 이어져 있고 꺾여만 있으면 → pg가 b에서 미분가능하려면 p(b)=0, 즉 (x−b)의 배수.
f는 0에서 끊기고 2에서 꺾이므로 ㄱ은 ①의 앞부분, ㄴ은 ②. {f}²도 0에서 끊기고 2에서 꺾이므로 필요한 것은 x²(x−2)의 배수이고, x²(x−2)²까지는 아닙니다. 반례 p(x)=x²(x−2).
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
p부터 건드리려고 한다
p는 정보가 없는 문자입니다. 손댈 수 있는 건 f뿐. x=0과 x=2에서 f의 값·좌우극한·좌우기울기를 표로 먼저 적고 시작하세요. -
x=2도 불연속이라고 착각한다
f(2)=1이고 우극한 2·2−3=1로 같습니다. x=2는 이어져 있고 꺾여만 있습니다. 이 구분을 놓치면 ㄴ과 ㄷ이 동시에 무너집니다. -
ㄴ을 연속 조건만으로 처리한다
x=2에서는 이미 연속이라 연속 조건은 아무 정보도 주지 않습니다. 반드시 좌·우 미분계수를 정의로 계산해 2p(2)+p′(2)=p(2)+p′(2)를 만들어야 p(2)=0이 나옵니다. -
ㄷ을 “제곱했으니 인수도 제곱”으로 판단한다
제곱해도 x=0의 도약은 없어지지 않고, x=2는 여전히 꺾임일 뿐입니다. 필요한 인수는 x²(x−2)까지. 지수를 두 배로 올릴 근거가 없습니다. -
반례를 찾지 못해 ㄷ을 참으로 남긴다
p(x)=x²(x−2)를 넣고 x=0, x=2 두 점에서만 미분계수를 확인하면 끝납니다. 반례는 “만들어 내는” 게 아니라 위 조건에서 필요한 최소 인수를 그대로 쓰는 것입니다. -
p가 상수가 아니라는 단서를 흘린다
p≡0을 배제하는 장치입니다. 반례를 제시할 때도 상수가 아닌 다항식인지 확인하고 넘어가세요.
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