쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0356
난이도 최상
곱함수의 미분가능성
교육청 기출
난이도 최상
곱함수의 미분가능성
교육청 기출
문제를 읽자마자
출제의도
f가 끊기거나 꺾여도, 곱해지는 g가 그 자리를 0으로 눌러 주면 미분가능해진다
g(x)=(x−5)(x−b)는 다항함수라 어디서나 미분가능하니 의심할 곳은 f뿐입니다. f가 위험한 지점은 조각이 갈리는 x=5, 그리고 |2x−a|가 꺾이는 x=a/2 두 곳입니다. 그런데 a/2가 5보다 작으면 그 꺾임은 x≥5 구간에 아예 나타나지 않습니다. 자연수 a에 대해 a≤10인지 a≥11인지로 경우를 나누는 것이 이 문제의 출발점입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 위험지점 찾기
g는 다항함수라 전 구간에서 미분가능합니다. 따질 곳은 f가 부러지는 x=5와 절댓값의 꺾인점 x=a/2뿐입니다.
단, x=a/2는 x≥5 구간 안에 들어와야 의미가 있습니다. a가 자연수일 때 a/2>5가 되는 조건은?
단, x=a/2는 x≥5 구간 안에 들어와야 의미가 있습니다. a가 자연수일 때 a/2>5가 되는 조건은?
힌트 2 — 정의로 계산하기
g(5)=0이므로 f(5)g(5)=0입니다. 그러니 x=5에서의 미분계수는 lim {f(x)g(x)−0}/(x−5)로 좌우 따로 계산하면 되고, 이때 (x−5)가 약분됩니다.
1≤a≤10이면 x≥5에서 2x−a≥0이라 절댓값이 그대로 벗겨진다는 점도 함께 쓰세요.
1≤a≤10이면 x≥5에서 2x−a≥0이라 절댓값이 그대로 벗겨진다는 점도 함께 쓰세요.
힌트 3 — 두 조건을 합치기
a≥11이면 조건이 두 개입니다. x=5에서 a=20 또는 b=5, x=a/2에서 a=2b.
둘을 동시에 만족해야 하고, 여기에 a≥11이라는 전제로 한 번 더 걸러야 합니다. 살아남는 순서쌍은 몇 개인가요?
둘을 동시에 만족해야 하고, 여기에 a≥11이라는 전제로 한 번 더 걸러야 합니다. 살아남는 순서쌍은 몇 개인가요?
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 11
더 빠른 길 — 극한을 네 번 쓰지 않는 법
h=fg라 할 때, 판정 기준은 두 가지뿐입니다.
① g(k)=0인 곳: h′(k±)=f(k±)·g′(k)이므로 {f(5+)−f(5−)}·g′(5)=0. g′(5)=5−b이므로 1≤a≤10이면 (−a)(5−b)=0 ⟹ b=5, a≥11이면 (a−20)(5−b)=0 ⟹ a=20 또는 b=5.
② f가 연속이고 꺾이는 곳: 좌우 미분계수 차이가 2−(−2)=4이므로 h′의 차이는 4·g(a/2). 따라서 g(a/2)=0, 즉 a≥11에서 a/2≠5이므로 b=a/2.
두 결과를 합치면 (20, 10) 하나. 10+1=11개로 두 줄에 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x=a/2를 잊고 x=5만 본다
절댓값이 있으면 꺾인점을 먼저 표시하는 습관을 들이세요. x=5만 보면 답이 10개에서 멈춥니다. -
a/2와 5의 대소를 따지지 않는다
1≤a≤10이면 x≥5에서 2x−a≥0이라 절댓값이 그냥 벗겨져 꺾인점 자체가 없습니다. 경우 나누기의 기준이 바로 이것입니다. -
f가 x=5에서 불연속인 것을 놓친다
f(5−)=10, f(5+)=|10−a|로 보통 서로 다릅니다. 그런데도 곱이 미분가능할 수 있는 이유는 g(5)=0이기 때문입니다. 이 구조를 못 보면 문제가 성립하지 않는다고 착각합니다. -
‘또는’을 ‘그리고’로 읽는다
(a−20)(b−5)=0은 a=20 또는 b=5입니다. 여기에 a=2b를 결합해 걸러내야 (20, 10) 하나가 남습니다. -
b=5, a≥11인 조합을 개수에 포함한다
a=2b도 함께 만족해야 하는데 b=5면 a=10이라 a≥11에 어긋납니다. 중복 카운트로 답이 20 근처까지 부풀어 오르는 지점입니다. -
a, b가 자연수라는 조건을 흘린다
a(b−5)=0에서 a=0을 살려 두거나 b를 정수 전체로 잡으면 개수가 달라집니다. 마지막에 조건을 한 번 더 읽고 세기 시작하세요.
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