쎈미적분1 0355

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0355
난이도 상
미분계수의 좌우극한
서술형

쎈 미적분1 0355번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

g(t)가 1만큼 튀는 지점은 t=1과 t=3뿐이라는 것을 먼저 못 박는 문제

주어진 조건 1+limt→c−g(t)=limt→c+g(t)는 “우극한이 좌극한보다 정확히 1 크다”는 뜻입니다. g(t)=f′(t)는 각 조각 안에서 다항함수라 좌극한과 우극한이 같으므로, 그런 c가 있을 수 있는 곳은 조각이 갈리는 t=1과 t=3 두 곳뿐입니다. c=1인 경우와 c=3인 경우를 각각 계산한 뒤, 두 경우에서 나온 ab 값 전체에서 최댓값과 최솟값을 하나씩 고르는 것이 이 문제의 구조입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 다시 읽기
조건을 옮기면 (우극한)−(좌극한)=1입니다. 즉 t=c에서 g가 1만큼 점프해야 합니다.
g가 연속인 t에서는 두 극한이 같으니 이 등식은 절대 성립하지 않습니다. 그럼 c가 될 수 있는 값은 몇 개뿐일까요?
힌트 2 — g(t)를 구간별로 쓰기
g(t)=f′(t)= 3t²+2t−4 (t<1), −2t+a (1<t<3), b (t>3).
t=1에서 좌극한은 1, 우극한은 −2+a. t=3에서 좌극한은 −6+a, 우극한은 b.
각각에 (우극한)−(좌극한)=1을 대입해 보세요. 두 경우 모두 가능합니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
c=1이면 a=4로 고정되어 ab=4b이고, −1≤b≤3에서 값의 범위가 정해집니다.
c=3이면 a=b+5이므로 ab=b²+5b, 즉 b에 대한 이차함수입니다. 꼭짓점 b=−5/2가 −1≤b≤3 안에 있는지 확인하세요.
마지막으로 두 경우에서 나온 값을 전부 모아 최댓값 하나, 최솟값 하나만 골라 더합니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 20

쎈 미적분1 0355번 해설

서술형 답안, 이 세 줄이 배점입니다

① c의 값이 1 또는 3뿐임을 근거와 함께 밝히기 — 30%
② c=1일 때와 c=3일 때 ab의 최댓값·최솟값을 각각 구하기 — 60%
③ 전체에서의 최댓값과 최솟값을 골라 합 구하기 — 10%
①을 “g가 연속인 곳에서는 좌극한=우극한이므로”라는 한 줄로 정당화하지 않고 바로 c=1, 3부터 쓰면 30%가 날아갑니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • c를 임의의 실수로 두고 계산을 시작한다
    g가 연속인 지점에서는 좌극한과 우극한이 같아 1을 더한 등식이 성립할 수 없습니다. c의 후보를 1과 3으로 좁히는 것이 첫 문장이자 배점 30%입니다.
  • c=1만 확인하고 끝낸다
    c=3인 경우도 성립합니다. 그리고 최댓값 24는 바로 그 c=3에서 나옵니다. 여기서 답이 12로 갈리는 학생이 가장 많습니다.
  • 각 경우의 최댓값·최솟값을 따로 더한다
    문제가 요구한 것은 전체에서의 최댓값 하나와 최솟값 하나입니다. 12와 24 중 24, −4와 −4 중 −4를 골라 24+(−4)=20.
  • b²+5b의 꼭짓점 값을 최솟값으로 쓴다
    꼭짓점 b=−5/2는 −1≤b≤3 밖입니다. 정의역이 제한된 이차함수는 반드시 구간의 끝점부터 확인하세요.
  • f가 x=1, x=3에서 연속·미분가능하다고 넘겨짚는다
    문제는 그런 조건을 준 적이 없습니다. g(t)는 애초에 t≠1, t≠3에서만 정의된 함수이고, 그래서 점프가 허용됩니다.
  • 1이 붙는 쪽을 반대로 잡는다
    식에서 1이 더해진 쪽은 좌극한입니다. 방향을 뒤집으면 a=0, a=b−5가 나와 답이 통째로 달라집니다.


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