쎈미적분1 0354

작성자:

쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0354
난이도 상
미분가능성 판정
52쪽 유형 08

쎈 미적분1 0354번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

f′(0)이 없으니 곱의 미분법을 쓸 수 없다 — 정의로만 판정하는 문제

f는 x=0에서 미분가능하지 않으므로 f′(0)이라는 기호 자체가 존재하지 않습니다. (fg)′=f′g+fg′를 꺼내는 순간 그 풀이는 무효입니다. 판정 도구는 오직 미분계수의 정의뿐이고, 관건은 f(h)에 h가 몇 개나 붙어 있는가입니다. 참인 것은 정의로 증명하고, 거짓인 것은 반례 하나로 끝내는 것이 이 유형의 문법입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 도구를 고르기
f′(0)이 존재하지 않으니 곱의 미분법·몫의 미분법은 애초에 적용 대상이 아닙니다. 쓸 수 있는 것은 g′(0)=limh→0 {g(h)−g(0)} / h 하나뿐입니다.
ㄱ, ㄴ, ㄷ 각각에 대해 g(0)을 먼저 계산해 두고 시작하세요.
힌트 2 — h의 개수를 세기
ㄱ에서 g(h)−g(0)=h·f(h)이고 h로 나누면 f(h)만 남습니다. f는 x=0에서 연속이므로 f(0)으로 수렴하죠. 즉 극한이 존재합니다.
같은 눈으로 ㄷ을 보세요. x³f(x)에는 h가 세 개 붙어 있으니, h로 나누고도 h가 남습니다. 남은 h가 무엇을 눌러 줄까요?
힌트 3 — ㄴ은 반례로
x²+1은 x=0에서 값이 1입니다. 0이 아니므로 f의 미분불가능성을 조금도 상쇄하지 못합니다. 참임을 보일 수 없으니 반례를 만들어야 합니다.
조건(0에서 연속·미분불가능)을 만족하는 가장 단순한 f는 f(x)=|x|입니다. 이걸 대입해 좌·우 극한을 따로 계산해 보세요.

다 풀고 나서

정답과 해설

정답·해설 펼치기

정답 ④  ㄱ, ㄷ

쎈 미적분1 0354번 해설 1
쎈 미적분1 0354번 해설 2

하나로 꿰는 원리 — 붙어 있는 x의 차수

y=xⁿf(x)를 x=0에서 정의로 따지면 g′(0)=limh→0 hⁿ⁻¹f(h)가 됩니다. f가 x=0에서 연속이므로 f(h)는 유한한 값으로 수렴하고, 따라서 n≥1이면 항상 미분가능합니다(n=1이면 f(0), n≥2면 0).
반대로 x=0에서 0이 되지 않는 함수를 곱하면(ㄴ의 x²+1은 1) f의 꺾임이 그대로 살아남아 미분불가능합니다. ㄷ도 같은 원리로, 1/(1−x³f(x))에서 x³이 h를 세 개 공급해 주는 구조입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 곱의 미분법 (fg)′=f′g+fg′를 적용한다
    f′(0)이 존재하지 않으므로 공식을 쓰는 순간 없는 값을 쓴 것이 됩니다. 이 유형은 처음부터 끝까지 미분계수의 정의로만 판정합니다.
  • ㄴ에서 x²+1이 미분가능하니 곱도 된다고 넘겨짚는다
    미분가능한 함수를 곱해도 상대가 미분불가능하면 곱은 일반적으로 미분불가능합니다. 예외는 곱하는 쪽이 x=0에서 0이 될 때뿐입니다.
  • ㄴ을 반례 없이 “안 될 것 같다”로 처리한다
    거짓 명제는 반례 하나를 실제로 제시해야 합니다. f(x)=|x|를 넣어 우극한 1, 좌극한 −1이 다름을 보이는 것이 정답 서술입니다.
  • ㄱ에서 lim f(h)=f(0)이라 쓰고 근거를 안 적는다
    여기서 쓰이는 조건은 “x=0에서 연속”입니다. 문제 조건 중 연속을 사용한 지점이 바로 이 한 줄이므로 서술형에서는 반드시 명시해야 합니다.
  • ㄷ에서 g(0)을 계산하지 않고 정의에 대입한다
    g(0)=1/(1−0)=1입니다. 이 값을 빼먹으면 분자가 통분되지 않아 h³f(h)/{1−h³f(h)} 꼴로 정리되지 않습니다.
  • ㄷ의 분모가 0이 되지 않는지 확인하지 않는다
    h→0일 때 h³f(h)→0이므로 분모 1−h³f(h)는 1로 수렴합니다. 분모가 0이 아님을 확인해야 극한 계산이 정당해집니다.
  • ㄱ이 참임을 f(x)=|x| 하나로 확인하고 끝낸다
    참인 명제는 특정 예가 아니라 임의의 f에 대해 증명해야 합니다. 예시는 거짓을 무너뜨릴 때만 쓰는 도구입니다.


다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기