쎈미적분1 0353

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0353
난이도 상
우함수와 미분계수
50쪽 유형 05

쎈 미적분1 0353번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

y축 대칭이라는 말은 f′(−2)를 쓰라는 지시다

주어진 것은 f′(2)와 f′(4)인데, 분모는 x→−2에서의 변화율입니다. 즉 f′(−2)가 필요한데 문제는 그 값을 직접 주지 않습니다. 대신 “y축에 대하여 대칭”이라는 조건을 줬습니다. 우함수의 미분계수가 부호를 뒤집어 대응한다는 사실 하나를 끌어내면, 나머지는 분모·분자를 미분계수 정의 꼴로 재배치하는 기계적인 작업입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 식으로 바꾸기
“y=f(x)의 그래프가 y축에 대하여 대칭”은 곧 f(x)=f(−x)입니다. 이 식을 그대로 두지 말고, 미분계수의 정의에 넣어 f′(a)와 f′(−a)의 관계를 먼저 만드세요.
정의로 계산하면 f′(a)와 f′(−a)는 크기가 같고 부호만 다릅니다. 그러면 f′(2)=2에서 f′(−2)는 얼마입니까?
힌트 2 — 분모를 −2 기준으로 바꾸기
극한은 x→−2인데 분모는 f(x)−f(2)입니다. 기준점이 어긋나 있어 미분계수 정의로 묶이지 않습니다.
여기서도 대칭 조건을 씁니다. f(2)=f(−2)이므로 분모를 f(x)−f(−2)로 바꿔 쓸 수 있고, 그제서야 x−(−2)로 나눌 준비가 됩니다.
힌트 3 — 남는 조각 챙기기
분자는 {f(x²)−f(4)} / (x²−4) 꼴로, 분모는 {f(x)−f(−2)} / (x+2) 꼴로 만들어야 합니다. 이때 곱해 준 (x²−4)와 나눠 준 (x+2)가 따로 남습니다.
(x²−4)÷(x+2)=x−2이고, x→−2이므로 이 조각의 값은 −4입니다. 이걸 빠뜨리면 답이 3으로 나옵니다.

다 풀고 나서

정답과 해설

정답·해설 펼치기

정답 ①  −12

쎈 미적분1 0353번 해설 1
쎈 미적분1 0353번 해설 2

더 깔끔한 길 — 분자·분모를 각각 (x+2)로 나누기

분모·분자를 통째로 x+2로 나눠 두 개의 극한으로 분리합니다.
분자: limx→−2 {f(x²)−f(4)} / (x+2) = lim {f(x²)−f(4)} / (x²−4) × (x−2) = f′(4)×(−4) = 24
분모: limx→−2 {f(x)−f(−2)} / (x+2) = f′(−2) = −2
따라서 24 ÷ (−2) = −12. 역수로 뒤집는 과정이 없어 부호 실수가 줄어듭니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(x)=f(−x)를 미분해서 f′(x)=f′(−x)라고 쓴다
    양변을 x로 미분하면 오른쪽에 −1이 딸려 나와 f′(x)=−f′(−x)가 됩니다. 우함수의 도함수는 기함수입니다. 그래서 f′(−2)=−f′(2)=−2입니다.
  • f(2)를 f(−2)로 바꾸지 않고 그대로 둔다
    x→−2인데 기준점이 2면 미분계수 정의로 묶이지 않습니다. f(2)=f(−2)라는 한 줄이 이 문제의 출발점입니다.
  • (x²−4)÷(x+2)=x−2 조각을 흘린다
    답이 3으로 나왔다면 이 경우입니다. 곱하고 나눈 것을 반드시 남겨서 x→−2를 대입하면 −4입니다.
  • 분모 쪽 미분계수를 역수로 올리는 걸 잊는다
    분모에 있던 {f(x)−f(−2)} / (x+2)는 f′(−2)로 수렴하므로 1/f′(−2)로 올라갑니다. 1/(−2)를 −2로 잘못 쓰면 답이 −48이 됩니다.
  • 분자에서 f′(4) 대신 f′(−4)를 찾는다
    x→−2일 때 x²→4입니다. 제곱이라 기준점은 +4 쪽이므로 주어진 f′(4)=−6을 그대로 씁니다.
  • 대칭 조건을 “f는 짝수차 항만 있다”까지만 쓰고 멈춘다
    맞는 관찰이지만 계산에는 바로 연결되지 않습니다. 서술형이라면 f(x)=f(−x) → f′(−2)=−2, f(2)=f(−2) 두 줄을 반드시 명시해야 점수가 붙습니다.


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