쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0347
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미분계수의 정의 · 곱의 미분법
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출제의도
분모의 √x−2를 x−4로 바꿔 미분계수의 정의 꼴을 만들라는 문제
주어진 극한은 미분계수와 거의 같은 모양인데, 분모만 √x−2로 위장해 있습니다. 유리화 한 번이면 x−4가 되고, 그때 딸려 나오는 (√x+2)→4가 이 문제의 채점 포인트입니다. 뒤쪽은 f(x)=(x−3)(x−4)Q(x)를 곱의 미분법으로 처리해 f′(4)=Q(4)를 읽어 내는 계산입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 분모를 x−4로
미분계수의 정의는 분모가 x−4여야 합니다. 지금은 √x−2죠.
분모·분자에 √x+2를 곱하면 (√x−2)(√x+2)=x−4가 됩니다. 곱해 준 것은 분자에 그대로 남습니다.
분모·분자에 √x+2를 곱하면 (√x−2)(√x+2)=x−4가 됩니다. 곱해 준 것은 분자에 그대로 남습니다.
힌트 2 — 남은 인수를 처리하기
식은 {f(x)−f(4)}/(x−4)·(√x+2) 꼴이 됩니다. 앞은 f′(4), 뒤는 x→4에서 √4+2=4.
따라서 주어진 극한은 4f′(4)이고, 이것이 12이므로 f′(4)의 값이 정해집니다.
따라서 주어진 극한은 4f′(4)이고, 이것이 12이므로 f′(4)의 값이 정해집니다.
힌트 3 — f′(4)와 Q(4) 잇기
나머지가 0이므로 f(x)=(x−3)(x−4)Q(x). 세 인수의 곱을 미분하면 항이 세 개 나옵니다.
x=4를 넣으면 (x−4)를 포함한 항은 모두 0이 되고, 살아남는 것은 (x−3)Q(x)를 미분해서 나온 항 하나뿐입니다. 거기서 f′(4)=Q(4).
x=4를 넣으면 (x−4)를 포함한 항은 모두 0이 되고, 살아남는 것은 (x−3)Q(x)를 미분해서 나온 항 하나뿐입니다. 거기서 f′(4)=Q(4).
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ Q(4) = 3
다른 풀이 — 미분하지 않고 약분으로
f(4)=0이므로 분자는 그냥 f(x)=(x−3)(x−4)Q(x)입니다. 유리화하면
(x−3)(x−4)Q(x)/(x−4)·(√x+2) = (x−3)Q(x)(√x+2).
x→4를 넣으면 1·Q(4)·4=4Q(4). 즉 4Q(4)=12이므로 Q(4)=3.
미분계수 정의도, 곱의 미분법도 쓰지 않고 약분만으로 끝나는 길입니다. 객관식이라면 이쪽이 훨씬 빠릅니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
(√x+2)의 극한값 4를 빠뜨린다
가장 많이 나오는 오답 경로입니다. 유리화하면 극한은 4f′(4)이지 f′(4)가 아닙니다. f′(4)=12로 두면 Q(4)=12가 되어 보기에 없는 값이 나옵니다. -
√x−2를 그냥 x−4로 바꿔 쓴다
유리화는 “같은 것을 곱해 준다”이지 “바꿔 쓴다”가 아닙니다. 곱한 (√x+2)는 반드시 분자에 남겨 두세요. -
f(4)를 모른다고 생각한다
나머지가 0이라는 조건에서 f(4)=0입니다. 이걸 놓치면 다른 풀이(약분 경로)로는 아예 갈 수 없습니다. -
곱의 미분법에서 항을 하나 빠뜨린다
세 함수의 곱은 항이 세 개입니다. f′(x)=(x−4)Q+(x−3)Q+(x−3)(x−4)Q′. Q′(x)가 붙은 항까지 적어야 x=4 대입이 정당해집니다. -
Q(x)를 상수로 가정한다
몫 Q(x)의 차수는 주어지지 않았습니다. Q′(x)가 존재한다는 전제로 두고, x=4에서 그 항이 0이 되는 것을 근거로 삼아야 합니다. -
f′(4)=3까지 구하고 멈춘다
물은 것은 Q(4)입니다. f′(4)=Q(4)라는 연결 한 줄을 적고 나서 답을 고르세요.
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