쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0346
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삼차함수와 중근 조건
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문제를 읽자마자
출제의도
조건 두 줄을 등식 네 개로 바꿔 삼차함수를 확정하라는 문제
삼차함수의 미정계수는 a, b, c, d 네 개입니다. 조건도 정확히 네 개가 나와야 풀립니다. (가)에서 f(1)=0, f′(1)=0, (나)에서 f(−1)=4, f′(−1)=0 — 앞 문제(0345)의 “제곱 인수 ⟹ 조건 두 개”를 두 번 반복하는 구조이고, (나)의 −4를 어디로 옮기느냐가 유일한 함정입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건 개수부터 세기
구해야 할 계수는 네 개입니다. 조건 (가), (나)에서 각각 몇 개의 등식이 나오는지 먼저 세어 보세요.
제곱으로 나누어떨어진다는 말은 언제나 “값이 0″과 “미분값이 0” 두 줄입니다.
제곱으로 나누어떨어진다는 말은 언제나 “값이 0″과 “미분값이 0” 두 줄입니다.
힌트 2 — (나)를 옮겨 쓰기
나누어떨어지는 것은 f(x)가 아니라 f(x)−4입니다. g(x)=f(x)−4로 두면 g(−1)=0, g′(−1)=0.
그런데 상수를 미분하면 0이므로 g′(x)=f′(x)입니다. 즉 f(−1)=4, f′(−1)=0. 여기서 4를 흘리면 답이 달라집니다.
그런데 상수를 미분하면 0이므로 g′(x)=f′(x)입니다. 즉 f(−1)=4, f′(−1)=0. 여기서 4를 흘리면 답이 달라집니다.
힌트 3 — 더 짧은 길
f(x)=ax³+bx²+cx+d로 두고 네 식을 연립해도 됩니다. 다만 (가)만으로 f(x)=(x−1)²(ax+b) 꼴이 확정된다는 점을 쓰면 미지수가 둘로 줄어듭니다.
이때 f′(x)=2(x−1)(ax+b)+a(x−1)²을 x=−1에서 쓰고, f(−1)=4를 함께 세우세요.
이때 f′(x)=2(x−1)(ax+b)+a(x−1)²을 x=−1에서 쓰고, f(−1)=4를 함께 세우세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 f(3) = 20
더 빠른 길 — 도함수부터 세운다
f′(1)=0, f′(−1)=0이고 f′(x)는 이차함수이므로 f′(x)=3a(x−1)(x+1)=3a(x²−1).
되돌리면 f(x)=a(x³−3x)+C. 여기에 f(1)=0을 넣으면 −2a+C=0, 즉 C=2a.
f(−1)=4를 넣으면 2a+2a=4이므로 a=1, C=2. 따라서 f(x)=x³−3x+2, f(3)=27−9+2=20.
미지수 넷을 연립하는 대신 도함수의 두 근을 먼저 읽는 방식으로, 계산량이 절반 이하입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
조건 (나)를 f(−1)=0으로 읽는다
나누어떨어지는 대상은 f(x)−4입니다. f(−1)−4=0, 즉 f(−1)=4. 이 4 하나로 답이 20이 아닌 값으로 바뀝니다. -
f(x)−4의 도함수를 f′(x)−4로 쓴다
상수의 도함수는 0입니다. {f(x)−4}′=f′(x). 조건 (나)의 미분 조건은 그대로 f′(−1)=0입니다. -
제곱인데 조건을 하나만 뽑는다
(가)에서 f(1)=0만, (나)에서 f(−1)=4만 쓰면 식이 두 개뿐이라 계수가 확정되지 않습니다. 미정계수 4개에는 식 4개가 필요합니다. -
최고차항 계수를 1로 가정한다
문제는 “삼차함수”라고만 했습니다. a=1은 결과일 뿐 전제가 아닙니다. 처음부터 x³+…로 두면 우연히 맞아도 논리가 무너집니다. -
연립에서 부호를 흘린다
㉠+㉡에서 2b+2d−4=0, ㉢−㉣에서 4b=0. b=0을 먼저 확정하고 d=2, 그다음 a와 c로 가야 꼬이지 않습니다. -
f(x)를 구하고 멈춘다
물은 것은 f(3)입니다. f(x)=x³−3x+2까지 나왔다면 27−9+2를 반드시 한 줄 더 계산하세요.
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