쎈미적분1 0348

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0348
대표 문제
다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용
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쎈 미적분1 0348번 문제

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출제의도

나누는 식이 (x−1)²이면, 대입 한 번으로는 끝나지 않는다

나머지 R(x)=ax+b에는 미지수가 둘인데 x=1을 대입해 얻는 식은 하나뿐입니다. 부족한 한 줄을 양변을 미분해서 만들어 내라는 것이 이 유형의 전부입니다. x²⁰+1을 실제로 전개하는 계산은 처음부터 요구되지 않았습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 나머지의 차수부터
나누는 식이 2차이므로 나머지는 1차 이하입니다. R(x)=ax+b로 놓고 몫을 Q(x)라 하여 항등식 x²⁰+1=(x−1)²Q(x)+ax+b를 먼저 적으세요. 여기서 출발하지 않으면 아무 데도 못 갑니다.
힌트 2 — 한 줄은 대입으로
(x−1)²을 0으로 만드는 값, 즉 x=1을 양변에 넣으면 Q(x)가 통째로 사라집니다. 2=a+b가 나옵니다.
그런데 미지수는 a, b 둘. 식이 하나 더 필요합니다. 대입할 수 있는 수는 x=1 하나뿐인데, 무엇을 더 할 수 있을까요?
힌트 3 — 나머지 한 줄은 미분으로
항등식은 미분해도 항등식입니다. 양변을 x에 대해 미분하면 우변은 2(x−1)Q(x)+(x−1)²Q′(x)+a가 되고, 여기에 x=1을 넣으면 앞의 두 항이 모두 0이 됩니다.
좌변 20x¹⁹에 x=1을 넣은 값이 그대로 a입니다. a를 구한 뒤 2=a+b로 돌아가세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 22  R(x) = 20x − 18

쎈 미적분1 0348번 해설

풀이영상

다른 길 — x−1=t로 바꿔 보기

x=t+1로 두면 x²⁰+1=(1+t)²⁰+1입니다. 전개하면 1+20t+(t²이 곱해진 항들)+1이고, t²이 붙은 항은 모두 (x−1)²로 나누어떨어집니다.
따라서 나머지는 2+20t=2+20(x−1)=20x−18. 미분법을 쓰지 않아도 같은 답이 나오지만, 지수가 커지면 미분 쪽이 훨씬 빠릅니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 나머지를 상수로 놓는다
    2차식으로 나눈 나머지는 1차 이하입니다. R(x)=ax+b로 시작하세요. 상수로 놓으면 식 하나로 끝나 버려 애초에 미분할 일이 없어집니다.
  • x=1만 대입하고 멈춘다
    2=a+b 한 줄로는 a, b가 정해지지 않습니다. “(x−a)² 꼴로 나눈다 ⟹ 대입 한 번 + 미분 후 대입 한 번”을 세트로 외워 두세요.
  • (x−1)²Q(x)를 미분할 때 곱의 미분을 빠뜨린다
    2(x−1)Q(x)+(x−1)²Q′(x) 두 항이 모두 나와야 합니다. x=1에서 둘 다 0이라 답은 같지만, 서술형에서는 이 줄을 생략하면 감점됩니다.
  • 20x¹⁹에 x=1을 넣고 19라 쓴다
    지수는 계수로 내려오고 남은 x¹⁹에 1을 넣으면 1입니다. 값은 20. 급하게 읽으면 지수와 계수가 뒤바뀝니다.
  • R(x)까지 구하고 R(2)를 잊는다
    문제가 물은 것은 R(2)입니다. 20x−18에 x=2를 넣어 22까지 적어야 끝납니다.


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