쎈미적분1 0345

작성자:

쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0345
난이도 중
서술형
중근 조건과 미분계수
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0345번 문제

먼저 보기

풀이영상

문제를 읽자마자

출제의도

“(x−1)²으로 나누어떨어진다”를 식 두 개로 번역하라는 문제

미지수는 a, b 두 개인데 눈에 보이는 조건은 한 줄뿐입니다. 부족한 한 줄을 미분이 만들어 줍니다. 인수가 제곱이면 f(1)=0에 더해 f′(1)=0이 따라온다 — 이 한 문장을 아는지 묻는 문제이고, 10차식으로 낸 이유는 나눗셈을 못 하게 막으려는 것입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
x¹⁰+2ax+3b를 (x−1)²으로 직접 나누고 있다면 멈추세요. 10차식 나눗셈은 손으로 할 일이 아닙니다.
나누어떨어진다 ⟹ f(x)=(x−1)²Q(x)로 놓고, 이 등식에서 얻을 수 있는 정보가 몇 개인지 세어 보세요.
힌트 2 — 조건 두 개 뽑아내기
f(x)=(x−1)²Q(x)에 x=1을 넣으면 f(1)=0.
양변을 미분하면 f′(x)=2(x−1)Q(x)+(x−1)²Q′(x)이고, 여기에 x=1을 넣으면 f′(1)=0입니다.
미지수 2개에 식 2개, 이제 연립이 됩니다.
힌트 3 — 계산 순서
f(1)=0부터 쓰면 a, b가 같이 들어와 막힙니다. f′(x)=10x⁹+2a에는 b가 없으니 f′(1)=0에서 a를 먼저 확정하세요.
a를 f(1)=1+2a+3b=0에 대입하면 b가 나옵니다. 서술형이니 “f(1)=0, f′(1)=0임을 알 수 있다”는 근거 문장을 맨 앞에 반드시 적으세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 a+b = −2

쎈 미적분1 0345번 해설

다른 풀이 — x−1로 다시 전개하기

x=(x−1)+1로 보고 x¹⁰=((x−1)+1)¹⁰을 이항정리로 펼치면, (x−1)²보다 낮은 항은 10(x−1)+1 뿐입니다.
f(x)=[(x−1)²로 묶이는 부분]+(10+2a)(x−1)+(1+2a+3b)이므로, 나머지가 0이려면 10+2a=0, 1+2a+3b=0.
여기서 a=−5, b=3이 곧바로 나옵니다. “미분한다”와 “(x−1)에 대해 정리한다”가 같은 말임을 보여 주는 풀이입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(1)=0만 쓰고 끝낸다
    제곱 인수는 조건이 두 개입니다. (x−1)이면 f(1)=0 하나, (x−1)²이면 f(1)=0과 f′(1)=0 둘. 지수를 보고 조건 개수를 세는 습관을 들이세요.
  • 10차식을 실제로 나눈다
    조립제법을 두 번 돌리려는 순간 이미 출제 의도에서 벗어난 것입니다. 차수가 크면 무조건 미분 조건으로 갑니다.
  • f′(x)에 3b를 남긴다
    3b는 상수항이므로 미분하면 사라집니다. f′(x)=10x⁹+2a. 여기에 b가 남아 있으면 계산이 끝까지 꼬입니다.
  • a=−5를 대입할 때 부호를 놓친다
    1+2(−5)+3b는 −9+3b입니다. 1−10을 +9로 적는 실수가 가장 잦습니다. b=3, 여기서 틀리면 답이 통째로 달라집니다.
  • 근거 없이 계산만 나열한다
    서술형 채점표는 ① 조건 인식 30% ② a 30% ③ b 30% ④ a+b 10%로 배점됩니다. ①의 근거 문장이 빠지면 답이 맞아도 30%가 날아갑니다.
  • a, b까지 구하고 멈춘다
    문제가 물은 것은 a+b입니다. a=−5, b=3을 따로 적은 뒤 −2까지 한 줄 더 쓰세요.


다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기