쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 20 다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용
0344
대표 문제
(x−a)²으로 나누어떨어질 조건
풀이영상 있음
대표 문제
(x−a)²으로 나누어떨어질 조건
풀이영상 있음
다항식 x³−3x+k가 (x−a)²으로 나누어떨어질 때, 양수 a, k에 대하여 a+k의 값은?
① 3② 4③ 5④ 6⑤ 7
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문제를 읽자마자
출제의도
“(x−a)²으로 나누어떨어진다”를 f(a)=0, f′(a)=0 두 줄로 바꾸는 문제
이 유형의 대표 문제입니다. 실제로 나눗셈을 하라는 문제가 아니라, 중근 조건을 미분으로 번역하는 공식 하나를 쓸 줄 아느냐를 묻습니다. f(x)=(x−a)²Q(x)의 양변을 미분하면 f′(x)=2(x−a)Q(x)+(x−a)²Q′(x)이고, x=a를 넣으면 두 조건이 동시에 나옵니다. 이 유도 과정을 한 번은 직접 써 보고 넘어가세요.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 나눗셈을 하지 마세요
x³−3x+k를 (x−a)²으로 직접 나누려 하고 있다면 멈추세요. 문자가 a, k 두 개라 계산이 지저분해집니다.
나누어떨어진다 = 나머지가 0이라는 사실을 f(x)=(x−a)²Q(x) 꼴로 먼저 써 보세요.
나누어떨어진다 = 나머지가 0이라는 사실을 f(x)=(x−a)²Q(x) 꼴로 먼저 써 보세요.
힌트 2 — 양변을 미분
f(x)=(x−a)²Q(x)의 양변을 미분하면 f′(x)=2(x−a)Q(x)+(x−a)²Q′(x).
x=a를 대입하면 f(a)=0이면서 동시에 f′(a)=0. 조건이 하나가 아니라 둘입니다.
x=a를 대입하면 f(a)=0이면서 동시에 f′(a)=0. 조건이 하나가 아니라 둘입니다.
힌트 3 — 어느 식부터 쓸까
f(a)=0은 a³−3a+k=0이라 문자가 둘, f′(a)=0은 3a²−3=0이라 문자가 하나입니다.
문자가 하나인 쪽부터 푸세요. a²=1에서 a=±1인데 문제에 a는 양수라고 못 박아 두었습니다.
문자가 하나인 쪽부터 푸세요. a²=1에서 a=±1인데 문제에 a는 양수라고 못 박아 두었습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ① a+k = 3
풀이영상
다른 풀이 — 근과 계수의 관계로
삼차식이 (x−a)²으로 나누어떨어지므로 나머지 한 근을 b라 하면 x³−3x+k=(x−a)²(x−b).
x² 계수가 0이므로 2a+b=0, 즉 b=−2a. 이를 넣어 전개하면 x³−3a²x+2a³.
계수를 비교하면 −3a²=−3에서 a=1(a>0), 2a³=k에서 k=2. 미분을 쓰지 않는 길도 익혀 두면 검산에 씁니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(a)=0만 쓰고 f′(a)=0을 빠뜨린다
(x−a)로 나누어떨어지는 것과 (x−a)²으로 나누어떨어지는 것은 다릅니다. 제곱이 보이면 조건도 두 개. 미지수가 둘인데 식이 하나뿐이라면 조건을 하나 흘린 것입니다. -
a=−1을 답으로 끌고 간다
3a²−3=0의 해는 a=1과 a=−1 둘입니다. 문제가 “양수 a“라고 한정했으므로 a=1만 살립니다. 조건이 붙은 문자는 답을 고르기 위한 장치라고 보세요. -
문자가 둘인 식부터 손댄다
a³−3a+k=0을 먼저 붙잡으면 a와 k가 엉킵니다. f′(a)=0이 a만의 식이라는 걸 보고 순서를 정하는 게 이 문제의 실전 요령입니다. -
k까지 구하고 멈춘다
a=1, k=2를 구했다고 끝이 아닙니다. 물은 것은 a+k=3. 곱인지 합인지를 마지막에 문제로 돌아가 확인하세요. -
k가 양수인지 확인하지 않는다
구한 k=2는 양수 조건을 만족합니다. 조건에 맞지 않는 값이 나왔다면 앞 단계에서 부호를 잘못 잡은 것이니, 검토 없이 답지에 옮기지 마세요.