쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0343
난이도 상
서술형
다항함수의 차수 결정
풀이영상 있음
난이도 상
서술형
다항함수의 차수 결정
풀이영상 있음
계수가 모두 정수인 다항함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여
f′(x){f′(x)+2} = 8f(x)+12x²+11
을 만족시킬 때, 다음을 구하시오.
(1) f(x)의 차수(2) f(x)
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문제를 읽자마자
출제의도
차수를 모르면 차수부터 세라 — 계수비교는 그다음
이 문제가 (1)과 (2)로 나뉘어 있는 이유가 곧 풀이 순서입니다. 차수를 모른 채 f(x)=ax²+bx+c로 놓으면 그건 찍은 것이지 푼 게 아닙니다. 좌변과 우변의 차수를 n으로 세어 n=2를 확정한 뒤에야 계수비교로 들어갈 수 있습니다. 그리고 마지막에 “계수가 모두 정수”라는 한 줄이 답을 하나로 걸러내는 열쇠가 됩니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 예외부터 걷어내기
f가 상수함수라면 f′(x)=0이라 좌변은 0인데, 우변은 12x²이 살아 있는 이차식입니다. 모순이므로 상수함수는 아닙니다.
f를 n차라 두면 f′은 (n−1)차. n=1일 때도 같은 방식으로 따져 보세요.
f를 n차라 두면 f′은 (n−1)차. n=1일 때도 같은 방식으로 따져 보세요.
힌트 2 — 양변의 차수 세기
좌변 f′{f′+2}의 차수는 (n−1)+(n−1)=2n−2.
n≥2이면 우변 8f+12x²+11의 차수는 n입니다.
2n−2=n을 풀면 n이 나옵니다. 이게 (1)의 답입니다.
n≥2이면 우변 8f+12x²+11의 차수는 n입니다.
2n−2=n을 풀면 n이 나옵니다. 이게 (1)의 답입니다.
힌트 3 — 두 후보 중 하나를 버리는 근거
f(x)=ax²+bx+c로 놓고 계수비교하면 4a²=4(2a+3)에서 a=−1 또는 a=3이 나옵니다. 여기서 멈추면 안 됩니다.
a=−1을 넣으면 b가 분수가 됩니다. 문제의 첫 문장 “계수가 모두 정수”가 바로 이 경우를 버리라고 넣어 둔 조건입니다.
a=−1을 넣으면 b가 분수가 됩니다. 문제의 첫 문장 “계수가 모두 정수”가 바로 이 경우를 버리라고 넣어 둔 조건입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 (1) 2 · (2) f(x)=3x²−3x−1
풀이영상
검산 한 번 — 30초로 끝내는 확인
f(x)=3x²−3x−1이면 f′(x)=6x−3.
좌변 = (6x−3)(6x−1) = 36x²−24x+3.
우변 = 8(3x²−3x−1)+12x²+11 = 24x²−24x−8+12x²+11 = 36x²−24x+3.
서술형은 검산 한 줄이 곧 점수입니다. 답을 쓴 뒤 반드시 원식에 넣어 보세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
차수를 세지 않고 바로 이차함수로 놓는다
우변에 12x²이 보인다고 f가 이차라는 보장은 없습니다. 채점기준 ❶(30%)이 통째로 “차수를 구할 수 있다”입니다. 결과가 맞아도 이 과정이 없으면 3분의 1을 잃습니다. -
상수함수·일차함수 경우를 건너뛴다
2n−2=n이라는 식 자체가 n≥2를 전제로 세운 것입니다. n=0, n=1에서 모순이 생긴다는 서술이 앞에 와야 논리가 닫힙니다. -
a=−1을 근거 없이 버린다
“아니니까 뺐다”가 아니라 4(ab+a)=8b에 a=−1을 대입해 b=−1/3이 되고, 계수가 정수라는 조건에 어긋난다는 계산을 적어야 합니다. -
8f(x)의 8을 분배하다 흘린다
8(ax²+bx+c)=8ax²+8bx+8c. 여기에 12x²을 합쳐 4(2a+3)x²로 묶는 자리에서 계수가 자주 어긋납니다. 한 줄 더 쓰더라도 정리 과정을 남기세요. -
(2)만 답하고 (1)을 비워 둔다
서술형은 소문항별로 배점이 나뉩니다. (1) 2, (2) f(x)=3x²−3x−1 — 두 답을 각각 분명히 적어야 합니다.