쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0341
난이도 중
도함수와 항등식
풀이영상 있음
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이차함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여
f(f′(x)) = f′(f(x))
를 만족시키고 f(2)=3일 때, f(4)의 값을 구하시오.
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문제를 읽자마자
출제의도
“모든 실수 x에 대하여”를 보는 순간 항등식 → 계수비교로 가라는 문제
이차함수라고 알려줬으니 f(x)=ax²+bx+c로 놓는 것까지는 누구나 합니다. 이 문제의 진짜 요구는 미지수 3개를 조건 하나로 어떻게 잡느냐입니다. 항등식에서 a와 b가, f(2)=3에서 c가 나옵니다. 조건과 미지수를 짝지어 보는 감각을 묻는 문항입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 놓고 시작하기
f(x)=ax²+bx+c (a≠0)로 놓으면 f′(x)=2ax+b입니다.
이제 f(f′(x))와 f′(f(x))를 각각 x에 대한 이차식으로 전개해 보세요. 어느 쪽이 f 안에 f′을 넣는 것인지 순서를 헷갈리지 마세요.
이제 f(f′(x))와 f′(f(x))를 각각 x에 대한 이차식으로 전개해 보세요. 어느 쪽이 f 안에 f′을 넣는 것인지 순서를 헷갈리지 마세요.
힌트 2 — 최고차항부터 비교
두 식을 전부 전개할 필요도 없이 x² 계수만 먼저 보세요.
f(f′(x))의 x² 계수는 a(2a)²=4a³, f′(f(x))의 x² 계수는 2a·a=2a².
4a³=2a²이고 a≠0이므로 a가 하나로 정해집니다.
f(f′(x))의 x² 계수는 a(2a)²=4a³, f′(f(x))의 x² 계수는 2a·a=2a².
4a³=2a²이고 a≠0이므로 a가 하나로 정해집니다.
힌트 3 — b와 c는 어디서
x의 계수를 비교하면 4a²b+2ab=2ab, 즉 4a²b=0 ⟹ b=0입니다.
상수항을 비교해 보면 c가 저절로 사라져 등식이 항상 성립합니다. 여기서 “c를 못 구했다”고 멈추지 마세요. 남은 조건 f(2)=3이 c를 위해 준비된 조건입니다.
상수항을 비교해 보면 c가 저절로 사라져 등식이 항상 성립합니다. 여기서 “c를 못 구했다”고 멈추지 마세요. 남은 조건 f(2)=3이 c를 위해 준비된 조건입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 9
풀이영상
더 빠른 길 — 최고차항만으로 a 확정하기
전개를 다 하지 않아도 됩니다. f가 이차, f′이 일차이므로 f(f′(x))의 최고차항은 a(2ax)²=4a³x², f′(f(x))의 최고차항은 2a·ax²=2a²x².
4a³=2a² ⟹ a=1/2. 이 한 줄을 먼저 확보하고 나머지 계수를 비교하면 계산량이 절반으로 줄어듭니다. 결국 f(x)=½x²+1이고 f(4)=8+1=9.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(f′(x))와 f′(f(x))를 바꿔 쓴다
앞쪽은 “f에 f′을 대입”, 뒤쪽은 “f를 대입한 뒤 미분한 식”. 전개 전에 어느 쪽이 어느 쪽인지 식 옆에 표시해 두세요. -
(2ax+b)² 전개에서 교차항을 빠뜨린다
4a²x²+b²만 쓰고 4abx를 흘리는 실수가 가장 많습니다. x의 계수 비교가 b=0을 만드는 핵심이라 이 항이 빠지면 답이 통째로 달라집니다. -
4a³=2a²에서 a=0을 그냥 버린다
버리는 것 자체는 맞지만 근거를 적어야 합니다. “이차함수이므로 a≠0″ 한 줄을 반드시 쓰고 나서 a=1/2로 넘어가세요. -
상수항 비교에서 c가 안 나온다고 막힌다
ab²+b²+c=2ac+b에 a=1/2, b=0을 넣으면 c=c가 됩니다. 정보가 없는 게 아니라 c가 항등식으로 결정되지 않는다는 뜻이고, 그래서 f(2)=3이 주어진 것입니다. -
f(x)까지 구하고 f(4)를 안 계산한다
f(x)=½x²+1을 찾는 순간 다 푼 기분이 듭니다. 문제가 물은 것은 f(4)=9. 마지막에 대입 한 번을 남겨 두세요.