쎈수학 미적분Ⅰ · 03 다항함수의 미분법 · 유형 19
0340
난이도 하
항등식에서 미분법의 활용
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항등식에서 미분법의 활용
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문제를 읽자마자
출제의도
f′(1)은 변수가 아니라 하나의 상수라는 것을 알아채는 문제
식 안에 f′(1)이 들어 있어서 순환하는 것처럼 보이지만, f′(1)은 x가 무엇이든 값이 변하지 않는 수입니다. 그것을 a로 이름 붙여 놓고 f(x)=2x²+3ax를 미분해 다시 f′(1)을 계산하면, 처음에 놓은 a와 새로 계산한 값이 같아야 한다는 방정식이 하나 생깁니다. 난이도는 낮지만 “미지의 상수로 놓기”라는 발상이 이 유형 전체의 뿌리입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — f′(1)의 정체
f′(1)은 x가 들어 있는 식이 아니라 정해진 하나의 수입니다. 아직 모를 뿐입니다.
모르는 수는 문자로 놓는 것이 원칙입니다. f′(1)=a라고 두면 f(x)는 어떤 식이 되나요?
모르는 수는 문자로 놓는 것이 원칙입니다. f′(1)=a라고 두면 f(x)는 어떤 식이 되나요?
힌트 2 — 미분해서 다시 x=1
f(x)=2x²+3ax이므로 f′(x)=4x+3a입니다. 여기서 3a는 상수이므로 미분하면 사라지지 않고 그대로 남습니다.
이제 x=1을 넣어 f′(1)을 다시 계산해 보세요.
이제 x=1을 넣어 f′(1)을 다시 계산해 보세요.
힌트 3 — 두 값을 맞춘다
새로 계산한 값은 4+3a인데, 처음에 f′(1)=a로 놓았습니다. 같은 수이므로 a = 4+3a.
a를 구한 뒤 f′(x)를 완성하고, 문제가 물은 것이 f′(1)이 아니라 f′(2)라는 것을 확인하세요.
a를 구한 뒤 f′(x)를 완성하고, 문제가 물은 것이 f′(1)이 아니라 f′(2)라는 것을 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ f′(2) = 2
풀이영상
더 빠른 길 — 문자로 바꾸지 않고 그대로 미분
f(x)=2x²+3x·f′(1)에서 f′(1)을 상수로 보고 양변을 바로 미분하면 f′(x)=4x+3f′(1).
여기에 x=1을 대입하면 f′(1)=4+3f′(1)이므로 2f′(1)=−4, 즉 f′(1)=−2.
따라서 f′(x)=4x−6이고 f′(2)=2. 치환 과정 없이 두 줄로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f′(1)을 x의 함수처럼 취급한다
f′(1)은 상수입니다. 3x·f′(1)을 미분하면 3f′(1)이고, 곱의 미분법을 써서 f″가 등장하는 일은 없습니다. -
미분할 때 3a를 함께 없앤다
f(x)=2x²+3ax는 x에 대한 일차항을 가진 식입니다. f′(x)=4x+3a에서 3a가 남아야 방정식이 만들어집니다. -
a=4+3a에서 부호를 뒤집는다
a−3a=4가 아니라 2a=−4입니다. 이항 방향을 한 번만 더 확인하세요. a=2로 나왔다면 여기입니다. -
f′(1)=−2를 답으로 낸다
−2는 선택지 ①에 그대로 놓여 있는 함정입니다. 구하는 값은 f′(2)이므로 f′(x)=4x−6에 x=2를 넣어 2까지 가야 합니다. -
f(x)와 f′(x)를 섞어 쓴다
a=−2를 넣은 f(x)=2x²−6x와 f′(x)=4x−6은 다른 식입니다. f(2)=−4와 f′(2)=2를 혼동하지 마세요.
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