쎈미적분1 0334

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0334
난이도 상
미정계수 결정
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쎈 미적분1 0334번 문제

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출제의도

조건 두 개로 f(x)를 완전히 복원한 뒤, 미분계수 정의를 한 번 더 쓰는 문제

(개)는 f의 차수와 최고차항 계수를 알려주고, (내)는 f(0)과 f′(0)을 알려줍니다. 미지수 세 개가 조건 세 개로 정확히 채워지도록 설계돼 있습니다. f(x)=6x²+2x−3을 얻고 나면 마지막 극한은 앞의 0332·0333과 완전히 같은 구조 — x=−1에서의 미분계수입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — f의 모양부터 정하기
묻는 극한을 먼저 건드리지 마세요. f(x)를 모르면 아무것도 못 합니다.
(개)에서 분모는 2차식이고 극한값이 0도 아니고 무한대도 아닌 6입니다. 그렇다면 f의 차수와 최고차항 계수는 각각 무엇으로 강제되나요?
힌트 2 — 나머지 두 계수 뽑기
f(x)=6x²+ax+b로 놓고 (내)를 보세요. x→0일 때 분모→0인데 극한값이 존재하므로 분자도 0으로 가야 합니다. 여기서 f(0)+3=0, 즉 b=−3.
그 다음 (6x²+ax)/x=6x+a의 극한이 2이므로 a도 나옵니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(x)=6x²+2x−3을 넣으면 분자는 x¹⁵+6x²+2x−3입니다. 분모가 x+1이니 x=−1에서의 미분계수 꼴을 노리세요.
g(x)=x¹⁵+6x²+2x로 두고 g(−1)을 계산하면 −1+6−2=3. 상수 −3이 −g(−1)과 맞아떨어집니다. 구할 값은 g′(−1)입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 ②  5

쎈 미적분1 0334번 해설 1
쎈 미적분1 0334번 해설 2

풀이영상

더 빠른 길 — 조건 (내)를 통째로 미분계수로 읽기

f(0)=−3을 먼저 얻고 나면 (내)의 식은 limx→0 {f(x)−f(0)} / (x−0), 즉 f′(0)입니다. 그러므로 f′(0)=2.
f′(x)=12x+a에서 f′(0)=a이므로 a=2가 한 줄로 나옵니다. 6x+a를 다시 전개할 필요가 없습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • (개)를 보고 f를 3차 이상으로 잡는다
    분모보다 차수가 높으면 극한이 발산합니다. 극한값이 유한한 6이라는 것 자체가 “차수는 정확히 2″라는 조건입니다. 분모의 4x−1은 계수 결정에 아무 영향도 주지 않습니다.
  • b를 구하지 않고 (내)에서 바로 a를 뽑으려 한다
    b가 살아 있으면 (6x²+ax+b+3)/x은 x→0에서 발산합니다. b+3=0을 먼저 확정해야 그다음 계산이 성립합니다.
  • g(x)에 −3까지 포함시킨다
    g(x)=x¹⁵+6x²+2x여야 g(−1)=3이 되어 분자가 g(x)−g(−1)이 됩니다. 상수항을 g에 넣으면 정의를 쓸 근거가 사라집니다.
  • g(−1)에서 부호를 뒤집는다
    (−1)¹⁵=−1(홀수 지수), 6(−1)²=+6(짝수 지수), 2(−1)=−2. 합이 3입니다. 지수의 홀짝을 항마다 따로 확인하세요.
  • g′(−1)에서 15(−1)¹⁴을 −15로 쓴다
    14는 짝수이므로 +15입니다. 15−12+2=5. 여기서 부호 하나가 틀리면 선택지에 있는 다른 값이 그대로 나와 버립니다.

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