쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0333
난이도 상
서술형
극한값의 존재조건
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서술형
극한값의 존재조건
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문제를 읽자마자
출제의도
미지수가 둘인데 조건은 하나 — 극한값이 존재한다는 말이 두 번째 조건이다
n과 a를 한꺼번에 구할 수는 없습니다. 순서가 정해져 있는 2단 문제입니다. 먼저 “분모→0인데 극한값이 존재한다 ⟹ 분자→0″으로 n을 확정하고, 그 다음에야 미분계수의 정의로 a를 구합니다. 서술형이므로 이 두 단계의 근거 문장이 곧 배점입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇부터 구할지 정하기
n을 모르는 채로 a를 구하려 하면 아무 데도 못 갑니다. 먼저 n입니다.
x→3일 때 분모 x−3은 0으로 갑니다. 그런데 극한값 a가 존재한다고 했습니다. 그렇다면 분자는 어디로 가야만 할까요?
x→3일 때 분모 x−3은 0으로 갑니다. 그런데 극한값 a가 존재한다고 했습니다. 그렇다면 분자는 어디로 가야만 할까요?
힌트 2 — n 확정하기
분자도 0으로 가야 하므로 limx→3(xⁿ−x³−9x−27)=0, 즉 3ⁿ−27−27−27=0입니다.
3ⁿ=81을 풀면 n이 나옵니다. 3⁴=81이라는 것을 확인하세요.
3ⁿ=81을 풀면 n이 나옵니다. 3⁴=81이라는 것을 확인하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
n을 넣으면 분자는 x⁴−x³−9x−27입니다. f(x)=x⁴−x³−9x로 두고 f(3)을 계산하세요.
f(3)=81−27−27=27이므로 분자는 정확히 f(x)−f(3). 따라서 a=f′(3)입니다. 답으로 적을 것은 a가 아니라 n+a입니다.
f(3)=81−27−27=27이므로 분자는 정확히 f(x)−f(3). 따라서 a=f′(3)입니다. 답으로 적을 것은 a가 아니라 n+a입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 76 (n=4, a=72)
풀이영상
채점 기준을 답안 순서로 그대로 옮기기
배점은 n을 구하는 단계 40%, a를 구하는 단계 40%, n+a를 구하는 단계 20%로 쪼개져 있습니다.
그러므로 답안도 ① “분모→0이고 극한값이 존재하므로 분자→0” → n=4 / ② f(3)=27을 밝히고 미분계수 정의로 a=f′(3)=72 / ③ n+a=76, 이렇게 세 덩어리로 끊어 쓰는 것이 가장 안전합니다. 계산이 맞아도 ①의 근거 문장이 없으면 40%가 날아갑니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
“극한값이 존재하므로 (분자)→0″이라는 문장을 생략한다
이 문장이 n을 구할 수 있는 유일한 근거입니다. 머릿속으로만 처리하고 3ⁿ=81부터 쓰면 서술형에서 첫 단계 배점이 통째로 빠집니다. -
x=3을 대입할 때 −27을 빠뜨린다
분자는 xⁿ−x³−9x−27입니다. 3ⁿ−27−27−27=0이므로 3ⁿ=81. −x³과 상수 −27을 하나로 착각하면 3ⁿ=54 같은 값이 나옵니다. -
3ⁿ=81에서 n=3으로 적는다
81은 3³이 아니라 3⁴입니다. 문제가 n을 자연수로 못박은 이유이기도 합니다. 3, 9, 27, 81을 한 번 세고 넘어가세요. -
f(x)에 −27까지 넣어버린다
f(x)=x⁴−x³−9x여야 f(3)=27이 되어 분자가 f(x)−f(3) 꼴이 됩니다. 상수항까지 f에 넣으면 정의를 쓸 수 없습니다. -
a=72까지 구하고 멈춘다
문제가 요구한 것은 n+a입니다. n=4를 다시 꺼내 76까지 쓰지 않으면 마지막 20%를 놓칩니다.
“쎈미적분1 0333”에 대한 1개의 생각