쎈미적분1 0327

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형16

0327
난이도 중
서술형
미분계수를 이용한 미정계수의 결정
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0327번 문제

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출제의도

두 번째 극한의 분모를 −h로 맞춰 미분계수 정의로 되돌리는 것이 이 문제의 전부

첫 번째 식은 f′(1)의 정의 그대로라 바로 읽힙니다. 문제는 두 번째 식 {f(−2−h)−f(−2)}/h. 증가량이 −h인데 분모는 h이므로, 분모·분자에 −1을 맞춰 −f′(−2) 꼴로 고쳐야 합니다. 서술형이므로 f′(1)=4 → f′(−2)=1 → a, b → f(1)의 네 단계를 각각 눈에 보이게 적는 것까지가 요구 사항입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 첫 식부터 확정하기
limh→0{f(1+h)−f(1)}/h 는 손댈 것 없이 f′(1)의 정의입니다. 즉 f′(1)=4.
여기서 얻은 것은 f(1)이 아니라 f′(1)이라는 점을 분명히 적어 두세요.
힌트 2 — 두 번째 식의 증가량 맞추기
f(−2−h)에서 −2로부터의 증가량은 h가 아니라 −h입니다. 정의 꼴이 되려면 분모도 −h여야 합니다.
{f(−2−h)−f(−2)}/h = [{f(−2−h)−f(−2)}/(−h)] × (−1) = −f′(−2).
이 값이 −1이므로 f′(−2)는 얼마인가요?
힌트 3 — 연립으로 마무리
f′(x)=3x²+2ax+b에 두 값을 넣으면 2a+b=1, 4a−b=11입니다. 변끼리 더하면 b가 지워집니다.
a, b를 구한 뒤 f(x)에 되돌려 넣고, 묻는 값이 f′(1)이 아니라 f(1)이라는 걸 다시 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 f(1) = 1  (a=2, b=−3)

쎈 미적분1 0327번 해설 1
쎈 미적분1 0327번 해설 2 · 채점 기준

풀이영상

서술형 채점 기준 — 점수가 붙는 자리

① f′(1)=4임을 안다 (20%) ② f′(−2)=1임을 안다 (30%) ③ a, b의 값을 구한다 (30%) ④ f(1)의 값을 구한다 (20%).
배점이 가장 큰 곳은 ②, 즉 −h로 맞추는 변형입니다. 답만 맞고 이 변형 과정이 없으면 30%가 그대로 날아갑니다. 답안에는 반드시 −1을 곱해 정의 꼴로 바꾸는 줄을 남기세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 두 번째 식을 그대로 f′(−2)=−1로 읽는다
    가장 흔한 실수이자 배점 30%가 걸린 자리입니다. 증가량이 −h이므로 부호가 한 번 뒤집혀 f′(−2)=1입니다.
  • f′(−2) 계산에서 (−2)²의 부호를 흘린다
    3(−2)²=12이지 −12가 아닙니다. 2a(−2)=−4a와 헷갈리지 않게 12−4a+b=1을 통째로 적어 두고 정리하세요.
  • 구한 것은 f′(1)인데 f(1)로 적는다
    f′(1)=4는 조건, f(1)=1이 답입니다. 서술형에서 이 둘을 섞어 쓰면 ①과 ④가 동시에 무너집니다.
  • a, b만 구하고 f(1)을 계산하지 않는다
    a=2, b=−3까지는 30%입니다. f(x)=x³+2x²−3x+1에 x=1을 넣어 1+2−3+1=1까지 가야 나머지 20%가 붙습니다.
  • 마지막 상수항 +1을 빼먹는다
    f(x)의 상수항 1은 미분하면 사라지므로 연립 과정 내내 보이지 않습니다. f(1)을 계산할 때 되살려야 합니다. 답이 0으로 나왔다면 이 경우입니다.


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