쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형16
0326
대표문제
미분계수를 이용한 미정계수의 결정
풀이영상 있음
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미분계수를 이용한 미정계수의 결정
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문제를 읽자마자
출제의도
분모가 0으로 가는데 극한값이 있다 → 분자도 0으로 간다를 근거로 f(1)=0을 뽑아내라
이 유형의 전부는 두 줄입니다. 첫 줄에서 f(1)=0을 얻고, 둘째 줄에서 남은 식이 미분계수의 정의 꼴 {f(x)−f(1)}/(x−1)임을 알아보는 것. 미지수 두 개(a, b)에 조건 두 개(f(1)=0, f′(1)=4)가 정확히 대응하도록 설계된 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 분모부터 보기
x→1일 때 분모 x−1은 0으로 갑니다. 그런데 이 극한이 4라는 값으로 존재한다고 했습니다.
분모가 0으로 가는데 전체가 유한한 값이 되려면, 분자는 어떤 값으로 가야 할까요?
분모가 0으로 가는데 전체가 유한한 값이 되려면, 분자는 어떤 값으로 가야 할까요?
힌트 2 — 미분계수의 정의로 되돌리기
분자도 0으로 가야 하므로 f(1)=0입니다. 이 0을 그냥 버리지 말고 식에 다시 써넣으세요.
f(x)/(x−1) = {f(x)−f(1)}/(x−1). 이 모양이 무엇의 정의인지 보이나요?
f(x)/(x−1) = {f(x)−f(1)}/(x−1). 이 모양이 무엇의 정의인지 보이나요?
힌트 3 — 조건 두 개, 미지수 두 개
얻은 조건은 f(1)=0과 f′(1)=4 두 개입니다.
f(x)=x³+ax+b에서 f′(x)=3x²+a. f′(1)=3+a=4로 a를 먼저 잡고, 그 a를 1+a+b=0에 넣어 b를 구하세요. 마지막에 묻는 것은 a도 b도 아닌 ab입니다.
f(x)=x³+ax+b에서 f′(x)=3x²+a. f′(1)=3+a=4로 a를 먼저 잡고, 그 a를 1+a+b=0에 넣어 b를 구하세요. 마지막에 묻는 것은 a도 b도 아닌 ab입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ ab = −2
풀이영상
다른 길 — 인수분해로 x−1을 약분하기
f(1)=0이므로 f(x)는 x−1로 나누어떨어집니다. x³+ax+b를 x−1로 나누면 몫이 x²+x+(a+1)이므로 f(x)=(x−1)(x²+x+a+1).
따라서 주어진 극한은 limx→1(x²+x+a+1) = a+3 = 4, 즉 a=1. 미분 없이 답이 나오지만, f(1)=0을 먼저 확보해야 시작할 수 있다는 점은 똑같습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(1)=0의 근거를 쓰지 않는다
“(분모)→0이고 극한값이 존재하므로 (분자)→0″이라는 한 줄이 이 문제의 논리 전부입니다. 결과만 쓰면 서술형에서 통째로 감점됩니다. -
f(1)=4로 착각한다
4는 극한값, 즉 f′(1)입니다. f(1)은 0. 두 값을 한 번 뒤바꾸면 a, b가 모두 달라집니다. -
미분계수 정의로 못 바꾸고 로피탈을 쓴다
답은 맞아도 교육과정 밖 도구입니다. {f(x)−f(1)}/(x−1) 꼴로 고쳐 쓰는 습관을 들이세요. -
f′(x)=3x²+a에서 b가 사라지는 걸 이상하게 여긴다
상수항 b는 미분하면 없어지는 것이 맞습니다. b는 f(1)=0 쪽 식에서만 결정됩니다. 조건 두 개를 각각 어디에 쓸지 미리 나눠 두세요. -
a=1까지 구하고 멈춘다
물은 것은 ab입니다. a=1, b=−2를 각각 적고 나서 곱하세요. b의 부호(1+a+b=0 → b=−2)를 특히 확인.
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