쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분법 · 유형14 곱의 미분법; y={f(x)}ⁿ 꼴
0322
난이도 중
서술형
미분계수 조건 → 미정계수
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문제를 읽자마자
출제의도
미분계수 조건으로 a를 먼저 확정한 뒤, a≠0이라는 단서로 답을 하나로 좁히는 문제
계산 자체는 f′(x)=6(2x−a)² 한 줄이면 끝납니다. 이 문항이 서술형인 이유는 f′(−1)=24에서 a가 두 개 나오고, 그중 하나를 조건으로 버려야 하기 때문입니다. 그 한 줄을 쓰지 않으면 답이 맞아도 점수가 깎입니다. 마지막에 묻는 것이 f′(1)이 아니라 a+f′(1)이라는 점도 함께 노리고 있습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 순서부터 잡기
a가 미지수라고 해서 겁먹을 필요 없습니다. a는 상수이므로 x로 미분할 때는 숫자와 똑같이 취급합니다.
f′(x)를 a가 들어간 채로 먼저 구하고, 그다음 f′(−1)=24를 방정식으로 쓰세요.
f′(x)를 a가 들어간 채로 먼저 구하고, 그다음 f′(−1)=24를 방정식으로 쓰세요.
힌트 2 — 속미분 챙기기
f(x)=(2x−a)³이므로 f′(x)=3(2x−a)²·(2x−a)′=3(2x−a)²·2=6(2x−a)²입니다.
여기에 x=−1을 넣으면 6(−2−a)²=24, 즉 (a+2)²=4. (−2−a)²=(a+2)²라는 정리를 놓치지 마세요.
여기에 x=−1을 넣으면 6(−2−a)²=24, 즉 (a+2)²=4. (−2−a)²=(a+2)²라는 정리를 놓치지 마세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
(a+2)²=4를 풀면 a²+4a=0, 즉 a(a+4)=0에서 a=0 또는 a=−4가 나옵니다.
문제에 “a는 0이 아닌 상수”라는 단서가 있죠. a=−4를 택하고, 그 이유를 한 줄로 반드시 쓰세요. 그다음 f′(1)을 구하고, 묻는 것이 a+f′(1)이라는 걸 다시 확인합니다.
문제에 “a는 0이 아닌 상수”라는 단서가 있죠. a=−4를 택하고, 그 이유를 한 줄로 반드시 쓰세요. 그다음 f′(1)을 구하고, 묻는 것이 a+f′(1)이라는 걸 다시 확인합니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 212 (a=−4, f′(1)=216)
풀이영상
서술형 채점 기준 — 점수가 갈리는 지점
❶ a의 값을 구할 수 있다 … 50%
❷ f′(1)의 값을 구할 수 있다 … 30%
❸ a+f′(1)의 값을 구할 수 있다 … 20%
배점의 절반이 a에 걸려 있습니다. 그리고 ❶의 완결은 “a=0 또는 −4 중 a≠0이므로 a=−4“라는 문장까지 쓴 상태입니다. 답만 −4라고 적어 두면 그 한 줄만큼 감점될 수 있습니다.
더 빠른 길 — 제곱근으로 바로 풀기
(a+2)²=4에서 전개하지 말고 a+2=±2로 바로 갑니다. a=0 또는 a=−4.
또 f′(1)=6(2+4)²=6·36=216도 (2x−a)에 a=−4를 넣어 2x+4로 정리한 뒤 x=1을 대입하면 암산으로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
a≠0 단서를 쓰지 않고 넘어간다
서술형에서 가장 크게 깎이는 지점입니다. a=0, −4가 모두 나온 뒤 “a는 0이 아닌 상수이므로”라는 근거 한 줄이 있어야 ❶이 완성됩니다. 답만 −4로 적으면 과정 점수를 잃습니다. -
속미분 2를 빠뜨린다
f′(x)를 3(2x−a)²로 두면 방정식 자체가 달라집니다. (2x−a)′=2가 반드시 곱해집니다. -
(−2−a)²의 부호를 헷갈린다
제곱이므로 (−2−a)²=(a+2)²로 바꿔 쓰면 실수가 줄어듭니다. −(a+2)를 제곱하면서 마이너스를 살려 두는 경우가 많습니다. -
a를 f(x)에 대입하지 않고 f′(1)을 계산한다
f′(x)=6(2x−a)²에 a=−4를 넣어 6(2x+4)²로 먼저 정리하세요. a가 남은 채로 x=1을 넣으면 부호가 뒤집혀 6·(2−4)²=24 같은 값이 나옵니다. -
f′(1)=216까지 구하고 멈춘다
문제가 요구한 것은 a+f′(1)입니다. −4+216=212. 배점 20%가 이 덧셈 한 줄에 걸려 있습니다.