쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 15
0323
대표 문제
미분계수를 이용한 극한값의 계산
풀이영상 있음
대표 문제
미분계수를 이용한 극한값의 계산
풀이영상 있음
함수 f(x)=x³+x²−5x에 대하여
limh→0 { f(3+h) − f(3−h) } / h 의 값은?
① 28② 35③ 42④ 49⑤ 56
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문제를 읽자마자
출제의도
전개하지 말고, 미분계수의 정의 꼴로 조립하라는 문제
f(3+h)와 f(3−h)를 h로 직접 전개해도 답은 나옵니다. 하지만 출제자가 보려는 것은 그 계산력이 아니라, 분자에 f(3)을 넣었다 빼서 두 개의 미분계수 정의로 쪼개는 손버릇입니다. 이 유형의 모든 문제가 같은 한 줄로 끝납니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 정의 꼴이 아닌 이유부터
미분계수의 정의는 {f(3+h) − f(3)} / h 입니다. 지금 분자에는 f(3)이 없고 대신 f(3−h)가 있죠.
없는 항을 만들어 내는 방법은 하나뿐입니다. 같은 값을 더하고 빼는 것. 분자에 무엇을 넣어야 할까요?
없는 항을 만들어 내는 방법은 하나뿐입니다. 같은 값을 더하고 빼는 것. 분자에 무엇을 넣어야 할까요?
힌트 2 — 두 덩어리로 쪼개기
분자를 {f(3+h) − f(3)} − {f(3−h) − f(3)} 으로 다시 씁니다.
앞 덩어리를 h로 나누면 그대로 f′(3)입니다. 뒤 덩어리는 −{f(3−h)−f(3)}/h 인데, 이걸 정의 꼴로 만들려면 분모가 −h가 되어야 합니다. 부호를 어디로 옮길까요?
앞 덩어리를 h로 나누면 그대로 f′(3)입니다. 뒤 덩어리는 −{f(3−h)−f(3)}/h 인데, 이걸 정의 꼴로 만들려면 분모가 −h가 되어야 합니다. 부호를 어디로 옮길까요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
뒤 덩어리는 + {f(3−h) − f(3)} / (−h) 이고, h→0이면 −h→0이므로 이것도 f′(3)입니다.
따라서 전체는 2f′(3). 이제 f′(x)=3x²+2x−5를 구해 x=3을 넣으세요.
그리고 f′(3)을 구한 뒤 2를 곱하는 것을 잊지 마세요. 선택지 ①이 왜 있는지 생각해 보면 압니다.
따라서 전체는 2f′(3). 이제 f′(x)=3x²+2x−5를 구해 x=3을 넣으세요.
그리고 f′(3)을 구한 뒤 2를 곱하는 것을 잊지 마세요. 선택지 ①이 왜 있는지 생각해 보면 압니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ 56
풀이영상
공식으로 외워 두면 좋은 것 — (p−q)f′(a)
limh→0 { f(a+ph) − f(a+qh) } / h = (p − q) f′(a) 입니다.
이 문제는 a=3, p=1, q=−1이므로 곧바로 (1−(−1))f′(3) = 2f′(3) = 2×28 = 56.
같은 유형(0324, 0325)도 이 한 줄로 정리됩니다. 단, 서술형에서는 이 공식을 바로 쓰지 말고 f(3)을 더하고 빼는 과정을 반드시 적어야 합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f′(3)=28을 구하고 그대로 ①을 고른다
구한 값은 f′(3)이지 극한값이 아닙니다. 이 문제의 극한값은 2f′(3). 선택지 ①은 정확히 이 실수를 노리고 배치된 오답입니다. -
뒤 덩어리의 부호를 −f′(3)으로 처리한다
−{f(3−h)−f(3)}/h 를 그대로 −f′(3)이라 읽으면 답이 0이 됩니다. 분모를 −h로 바꾸면서 앞의 −가 +로 바뀐다는 것을 한 줄로 적고 넘어가세요. -
f(3+h)−f(3−h)를 직접 전개하려 든다
3차식이라 전개는 가능하지만 항이 많아 부호 실수가 납니다. 정의 꼴로 쪼개면 계산은 f′(x) 하나뿐입니다. -
f′(x)를 구할 때 상수항 −5x의 미분을 흘린다
f′(x)=3x²+2x−5. −5가 빠지면 f′(3)=33, 답은 66이 되어 선택지에 없습니다. 답이 선택지에 없으면 이 자리를 먼저 보세요. -
h→0일 때 −h→0임을 확인하지 않는다
치환된 분모의 변수도 0으로 가야 정의가 성립합니다. 서술형에서는 이 한 줄이 감점 기준입니다.