쎈미적분1 0321

작성자:

쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분법 · 유형14 곱의 미분법; y={f(x)}ⁿ 꼴

0321
난이도 중
곱의 미분법 + 접선의 기울기
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0321번 문제

먼저 보고 싶다면

풀이영상 바로보기

문제를 읽자마자

출제의도

곱의 미분법 안에 {f(x)}ⁿ 미분이 한 겹 더 들어 있는 문제

(4x−3)²과 (x²+2)의 곱이므로 뼈대는 곱의 미분법입니다. 그런데 앞쪽 인수를 미분할 때 다시 2(4x−3)·4가 필요합니다. 즉 두 공식을 겹쳐 쓸 수 있는가를 보는 문항이고, 마지막에 x=0을 넣는 순간 뒤 항이 통째로 사라지도록 설계되어 있습니다. 접선의 기울기 = f′(0)이라는 번역도 함께 확인합니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 문장을 식으로 바꾸기
“x=0인 점에서의 접선의 기울기”는 f′(0) 한 개를 뜻합니다. 접점의 좌표나 접선의 방정식은 필요 없습니다.
그리고 이 식을 전개하면 4차식이 됩니다. 전개 대신 무엇을 쓸지부터 정하세요.
힌트 2 — 두 공식을 겹쳐 쓰기
f(x)=(4x−3)²(x²+2)로 두면 f′=(앞)′(뒤)+(앞)(뒤)′입니다.
여기서 (앞)′={(4x−3)²}′=2(4x−3)·4=8(4x−3). 속미분 4가 반드시 붙습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f′(x)=8(4x−3)(x²+2)+2x(4x−3)² 까지 왔나요?
x=0을 넣으면 뒤쪽 항은 2x가 0이라 통째로 사라집니다. 남는 것은 8·(−3)·2뿐. 부호만 조심하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 −48

쎈 미적분1 0321번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — x=0을 미리 노려보기

곱의 미분법의 두 항 중 뒤 항은 (앞)×(뒤)′=(4x−3)²·2x이므로 x=0에서 반드시 0입니다.
그러면 계산해야 할 것은 앞 항 하나, 즉 8(4x−3)(x²+2)에 x=0을 넣은 8·(−3)·2=−48뿐입니다. 대입할 값이 정해져 있을 때는 미분한 뒤 살아남을 항이 무엇인지를 먼저 보면 계산량이 절반이 됩니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • {(4x−3)²}′을 2(4x−3)으로 끝낸다
    속미분 4가 빠지면 답이 −12로 나옵니다. 괄호 안이 x가 아니라 4x−3이면 항상 뒤에 4가 따라붙습니다.
  • 곱의 미분법에서 한 항만 쓴다
    (앞)′(뒤)만 쓰고 (앞)(뒤)′을 잊는 실수입니다. 이 문제는 x=0에서 뒤 항이 0이라 답이 우연히 맞지만, 서술 과정에는 두 항이 모두 있어야 합니다.
  • 전개해서 미분한다
    (4x−3)²(x²+2)는 4차식으로 펼쳐집니다. 시간도 걸리고 계수 실수도 늘어납니다. 곱의 형태는 곱의 형태로 두고 미분하세요.
  • x=0을 먼저 대입한다
    먼저 넣으면 y=9·2=18이라는 상수가 되어 기울기 정보가 사라집니다. 순서는 미분 → 대입입니다.
  • (4·0−3)의 부호를 놓친다
    −3입니다. 8·(−3)·2=−48. 부호를 흘려 48로 적으면 정답이 아닙니다. “기울기가 음수”라는 사실이 그래프와 맞는지도 한 번 확인하세요.


다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기