쎈미적분1 0317

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수

0317
난이도 중
곱의 미분법

쎈 미적분1 0317번 문제

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문제를 읽자마자

출제의도

f(x)를 모르는 채로 답이 나온다 — 곱의 미분법의 구조를 묻는 문제

f(x)가 어떤 함수인지는 끝까지 주어지지 않습니다. 주어진 것은 f(1)=−4, f′(1)=3 두 개뿐이죠. 곱의 미분법 (uv)′=u′v+uv′를 정확히 쓰면 g′(1)이 f(1)과 f′(1)의 일차식으로 정리되고, 그 두 값만 있으면 답이 나옵니다. “함수를 알아야 미분한다”는 습관을 깨고, 미분한 식에 값을 대입한다는 순서를 몸에 붙이는 것이 이 문항의 목적입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇과 무엇의 곱인가
g(x)=(x²+2x)f(x)는 다항식 (x²+2x)와 미지의 함수 f(x)의 곱입니다.
두 함수의 곱이므로 곱의 미분법 (uv)′=u′v+uv′를 그대로 씁니다. f(x)를 모른다고 멈추지 마세요 — f′(x)라고 그냥 써 두면 됩니다.
힌트 2 — 전개하지 말 것
(x²+2x)f(x)를 x²f(x)+2xf(x)로 펼치고 각각 미분해도 결과는 같지만, 항이 늘어나 실수가 늘어납니다.
덩어리 그대로 미분하면 g′(x)=(2x+2)f(x)+(x²+2x)f′(x) 한 줄입니다.
힌트 3 — 대입은 미분 뒤에
구하는 것은 g′(1)이므로, 도함수를 구한 다음 x=1을 넣습니다.
2x+2에 x=1을 넣으면 4, x²+2x에 x=1을 넣으면 3. 따라서 g′(1)=4f(1)+3f′(1) 꼴이 됩니다. 이제 주어진 두 값을 넣으세요.
힌트 4 — 마지막 한 걸음
f(1)=−4, f′(1)=3이므로 4·(−4)+3·3입니다.
앞항이 음수라는 점만 놓치지 않으면 됩니다. −16과 +9의 합이 답입니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 −7

쎈 미적분1 0317번 해설

더 빠른 길 — 계수 두 개만 먼저 뽑기

어차피 x=1을 대입할 것이므로, 미분한 식을 전부 쓸 필요가 없습니다. 필요한 것은 (x²+2x)′의 x=1 값과 (x²+2x)의 x=1 값, 딱 두 개입니다.
(x²+2x)′=2x+2 → x=1에서 4, (x²+2x) → x=1에서 3. 그래서 g′(1)=4f(1)+3f′(1)=4·(−4)+3·3=−7. 문제를 읽고 바로 “4와 3″만 메모하면 계산이 두 줄에 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • (uv)′=u′v′로 쓴다
    곱의 미분법은 항이 두 개 나옵니다. u′v+uv′. 이 문제에서 (2x+2)f′(x) 한 줄로 끝냈다면 곱의 미분법 자체를 다시 확인해야 합니다. 한 쪽만 미분하고 다른 쪽은 그대로 두는 것을 두 번 반복한다고 외우세요.
  • f(x)를 모른다고 손을 놓는다
    f(x)의 정체는 필요 없습니다. f′(x)라고 기호로 써 두고 마지막에 x=1을 넣으면 주어진 값이 그 자리를 채웁니다. 미지 함수가 등장하는 문항의 표준 진행입니다.
  • 미분하기 전에 x=1을 대입한다
    g(1)=3f(1)=−12를 먼저 구하면 그건 상수라 미분해도 0입니다. g′(1)은 “g를 미분한 함수에 1을 넣은 값”이지 “g(1)을 미분한 것”이 아닙니다. 순서를 뒤집으면 문제가 통째로 무너집니다.
  • 4와 3의 자리를 바꿔 쓴다
    4는 (x²+2x)′의 값이라 f(1)에 붙고, 3은 (x²+2x)의 값이라 f′(1)에 붙습니다. 3f(1)+4f′(1)=0으로 답하는 오답이 가장 많습니다. 미분한 쪽 옆에는 미분 안 한 함수가 온다는 짝을 지켜 쓰세요.
  • −4의 부호를 흘린다
    4·(−4)=−16입니다. 대입할 때 반드시 괄호를 치고 4·(−4)로 적으세요. 부호 하나로 −7이 25가 됩니다.
  • 답을 g(1)로 착각한다
    문제가 요구한 것은 g′(1)입니다. 계산을 마친 뒤 구한 것이 도함수의 값인지 함숫값인지 한 번 더 확인하고 답란에 적으세요.


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