쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0318
난이도 상
인수 여러 개의 곱의 미분법
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출제의도
10개짜리 곱을 전개하지 않고 미분계수만 뽑아내는 문제
f(x)=(x−1)(x−2)…(x−10)을 펼치면 10차 다항식입니다. 물론 미분할 수 있지만, 그 길로 가면 이 문항은 풀 수 없습니다. 곱의 미분법을 인수 10개로 확장하면 f′(x)는 “한 인수만 미분하고 나머지는 그대로 둔 항” 10개의 합입니다. 여기에 x=2를 넣는 순간 (x−2)를 품은 9개 항이 전부 0이 되고 살아남는 항은 단 하나 — 이 구조를 보는 눈이 출제 포인트입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 곱의 미분법을 인수 3개로 먼저
{uvw}′=u′vw+uv′w+uvw′입니다. 미분되는 자리가 한 칸씩 이동하고 나머지는 그대로 남죠.
인수가 10개면 항도 10개입니다. 각 항은 (x−k)′=1이므로 결국 (x−k)를 하나씩 빼고 남은 9개의 곱이 됩니다.
인수가 10개면 항도 10개입니다. 각 항은 (x−k)′=1이므로 결국 (x−k)를 하나씩 빼고 남은 9개의 곱이 됩니다.
힌트 2 — x=2를 넣으면 무엇이 남는가
10개 항 중 9개는 인수 (x−2)를 여전히 품고 있습니다. x=2를 넣으면 그 항들은 모두 0입니다.
살아남는 것은 (x−2)를 뺀 항 하나뿐 — 즉 f′(2)=(2−1)(2−3)(2−4)…(2−10)입니다. 인수는 몇 개일까요?
살아남는 것은 (x−2)를 뺀 항 하나뿐 — 즉 f′(2)=(2−1)(2−3)(2−4)…(2−10)입니다. 인수는 몇 개일까요?
힌트 3 — f′(5)도 같은 방식으로
f′(5)=(5−1)(5−2)(5−3)(5−4)(5−6)(5−7)(5−8)(5−9)(5−10)입니다.
앞의 4·3·2·1은 양수, 뒤의 (−1)(−2)(−3)(−4)(−5)는 음수 5개의 곱이므로 전체가 음수입니다. f′(2) 쪽의 부호는 어떨까요?
앞의 4·3·2·1은 양수, 뒤의 (−1)(−2)(−3)(−4)(−5)는 음수 5개의 곱이므로 전체가 음수입니다. f′(2) 쪽의 부호는 어떨까요?
힌트 4 — 마지막 한 걸음
f′(2)=1·(−1)(−2)…(−8)이므로 음수 인수가 8개, 즉 양수이고 크기는 8!입니다.
f′(5)는 크기가 4!·5!이고 부호는 음수. 따라서 비는 −8!/(4!·5!)입니다. 큰 수를 곱하지 말고 약분부터 하세요.
f′(5)는 크기가 4!·5!이고 부호는 음수. 따라서 비는 −8!/(4!·5!)입니다. 큰 수를 곱하지 말고 약분부터 하세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ③ −14
더 빠른 길 — 팩토리얼로 정리해서 약분
f′(a)=(a−k)들의 곱(k≠a)이라는 결론만 챙기면 계산은 팩토리얼 두 줄입니다.
f′(2)=1·(−1)(−2)⋯(−8) → 음수 8개이므로 부호 ＋, 크기 8!=40320.
f′(5)=4·3·2·1·(−1)(−2)⋯(−5) → 음수 5개이므로 부호 −, 크기 4!·5!=24·120=2880.
따라서 f′(2)/f′(5)=−8!/(4!·5!)=−40320/2880=−14. 수를 다 곱하지 말고 40320/2880을 288로 약분하면 암산 범위입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
전개해서 미분하려 든다
10차식 전개는 시험장에서 불가능합니다. 인수 형태로 주어진 곱은 “미분하면 인수 하나씩 빠진 항들의 합”이라는 형태로 다루세요. 인수 곱은 전개하지 않는다가 이 유형의 제1원칙입니다. -
f′(2)를 0이라고 답한다
f(2)=0이지 f′(2)=0이 아닙니다. 도함수의 항들 중 (x−2)를 미분해 버린 항 하나는 (x−2)를 갖고 있지 않기 때문에 살아남습니다. 함숫값과 미분계수를 같은 것으로 취급하는 순간 답이 0/0이 됩니다. -
살아남는 항에 (2−2)를 그대로 남긴다
f′(2)의 인수는 9개입니다. k=2만 빠지고 k=1,3,4,…,10이 들어갑니다. 인수 개수를 세어 9개가 맞는지 확인하면 이 실수는 바로 잡힙니다. -
음수 인수의 개수를 잘못 센다
f′(2)에서 음수는 (2−3)부터 (2−10)까지 8개 → 곱은 양수. f′(5)에서 음수는 (5−6)부터 (5−10)까지 5개 → 곱은 음수. 부호는 개수의 홀짝만 보면 되므로, 곱하기 전에 음수 개수를 먼저 세어 옆에 적어 두세요. -
40320과 2880을 끝까지 곱해 놓고 나눈다
큰 수 곱셈은 실수의 온상입니다. 8!/(4!·5!) 꼴로 써 두면 8·7·6·5/(5!)=1680/120=14로 훨씬 안전하게 정리됩니다. -
부호를 빠뜨리고 14로 답한다
분자는 양수, 분모는 음수이므로 결과는 반드시 음수입니다. 선택지에 −14와 함께 다른 음수들이 놓여 있으니, 크기 14를 구한 뒤 부호를 다시 한 번 적어 확인하세요.
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