쎈미적분1 0316

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 13 곱의 미분법

0316
난이도 중
세 함수의 곱의 미분법
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쎈 미적분1 0316번 문제

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출제의도

세 개 곱은 항이 세 개, 그리고 f′(1)은 a에 대한 일차식

앞 문제가 두 함수의 곱이었다면 이번엔 세 함수의 곱입니다. 규칙은 같습니다 — 한 번에 하나씩만 미분하고 나머지는 그대로 두는 것을 세 번 반복합니다. 여기에 미지수 a가 섞여 있지만 a는 상수이므로 미분에서는 숫자 취급입니다. x=1을 대입하면 f′(1)은 a에 대한 일차식이 되고, 문제는 결국 일차방정식 하나입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 항이 몇 개 생기나
곱해진 함수가 세 개면 미분한 결과의 항도 세 개입니다.
(fgh)′ = f′gh + fg′h + fgh′ — 프라임이 한 칸씩 오른쪽으로 이동한다고 생각하세요. 세 줄을 먼저 적어 놓고 시작하면 빠뜨리지 않습니다.
힌트 2 — a는 미분 대상이 아니다
(−2x+a)′는 −2입니다. a는 상수라 미분하면 사라집니다.
(2x²+1)′=4x, (3x−1)′=3도 미리 적어 두세요. 전개는 하지 않습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x=1을 대입하면 2x²+1=3, 3x−1=2, −2x+a=a−2입니다.
세 항을 더하면 8(a−2)+9(a−2)−12 = 17a−46. 이것이 39와 같다는 일차방정식을 푸세요.
마지막으로 구한 값이 a인지, 그 a에 해당하는 선택지 번호인지 확인하고 답을 적습니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 ④  a = 5

쎈 미적분1 0316번 해설 1
쎈 미적분1 0316번 해설 2

풀이영상

더 빠른 길 — 두 개로 묶어 두 항으로 줄이기

앞의 두 개를 하나로 묶어 g(x)=(2x²+1)(3x−1)로 봅니다. 그러면 f(x)=g(x)(−2x+a)라는 두 함수의 곱이 됩니다.
g(1)=3·2=6, g′(1)=4·1·(3−1)+(2+1)·3=8+9=17.
f′(1)=g′(1)·(a−2)+g(1)·(−2)=17(a−2)−12=17a−46=39 ⟹ a=5.
항이 세 개에서 두 개로 줄어 옮겨 적을 것이 절반입니다. 세 개 이상의 곱에서는 이 묶기가 항상 통합니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 세 항 중 하나를 빠뜨린다
    가장 흔한 실패입니다. 미분을 시작하기 전에 세 줄의 자리부터 비워 놓고, 프라임을 첫째 → 둘째 → 셋째로 옮겨 가며 채우세요. 항의 개수는 곱해진 함수의 개수와 같습니다.
  • a를 변수로 보고 미분한다
    a는 상수입니다. (−2x+a)′=−2이지 −2+1이 아닙니다. 미분하는 변수는 오직 x라는 것을 문자가 섞인 문제일수록 먼저 못박아 두세요.
  • −2x+a에 x=1을 넣고 2−a로 적는다
    −2·1+a=a−2입니다. 부호가 뒤집히면 17a−46이 −17a−46이 되어 a가 음수로 나옵니다. 답이 선택지에 없다면 이 자리를 먼저 의심하세요.
  • 전개부터 하고 본다
    (2x²+1)(3x−1)(−2x+a)를 전개하면 a가 섞인 4차식이 됩니다. 문자 계수를 네 개 관리하게 되고, f′(1)만 필요한 문제에서 그 작업은 전부 버려집니다.
  • 17a=85에서 a=5를 구하고 ⑤를 고른다
    값 5와 번호 ⑤는 다릅니다. a=5는 선택지 ④입니다. 값과 번호가 겹치는 배치는 출제자가 노린 함정입니다. 답을 옮겨 적을 때 번호를 한 번 더 짚으세요.
  • 세 번째 항의 계수 −2를 흘린다
    (2x²+1)(3x−1)·(−2)에서 −2를 빠뜨리면 −12가 사라져 17a−34=39, 즉 a가 정수로 떨어지지 않습니다. 답이 분수로 나왔다면 이 항을 다시 보세요.


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