쎈미적분1 0315

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 13 곱의 미분법

0315
대표 문제
곱의 미분법 y=f(x)g(x)
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0315번 문제

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출제의도

전개하지 말고 곱의 미분법을 그대로 쓰라는 문제

(x²+x+1)(x³+x²+x+1)을 전개하면 5차식이 됩니다. 전개해서 미분해도 답은 나오지만, 출제자가 이 자리에 이 문제를 둔 이유는 곱의 꼴을 그대로 두고 미분하는 손버릇을 만들라는 것입니다. 게다가 필요한 것은 f′(x)의 식이 아니라 f′(1)이라는 값 하나입니다. 미분한 뒤 x=1을 넣으면 정리할 것이 아무것도 없습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 전개하려던 손을 멈추기
괄호를 풀어 5차식을 만들고 있다면 멈추세요. 계수를 여섯 개 관리하는 동안 실수 확률만 올라갑니다.
이 식은 f(x)=g(x)h(x) 꼴입니다. g와 h를 각각 무엇으로 볼지부터 정하세요.
힌트 2 — 공식 그대로 옮겨 적기
(gh)′ = g′h + gh′입니다. 앞을 미분하고 뒤는 그대로, 앞은 그대로 두고 뒤를 미분 — 두 항입니다.
g′(x)=2x+1, h′(x)=3x²+2x+1을 먼저 옆에 적어 두세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
식을 정리하지 말고 x=1을 바로 대입하세요. 필요한 값은 네 개뿐입니다.
g(1)=3, h(1)=4, g′(1)=3, h′(1)=6.
이 네 수를 g′(1)h(1)+g(1)h′(1)에 넣으면 계산이 두 번의 곱셈과 한 번의 덧셈으로 끝납니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 f′(1) = 30

쎈 미적분1 0315번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 값 네 개를 먼저 표로

미분한 식을 전개하지 말고, 필요한 값만 먼저 적어 두는 방식입니다.
g(1)=1+1+1=3, g′(1)=2·1+1=3, h(1)=1+1+1+1=4, h′(1)=3+2+1=6.
f′(1)=g′(1)h(1)+g(1)h′(1)=3·4+3·6=12+18=30. 문자식을 한 번도 정리하지 않고 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • (gh)′을 g′h′으로 쓴다
    곱의 미분은 각각 미분해서 곱하는 것이 아닙니다. 항이 반드시 두 개로 늘어납니다. 미분 기호를 쓴 직후 항이 하나뿐이면 그 자리에서 틀린 것입니다.
  • 전개해서 5차식으로 만든 뒤 미분한다
    답은 나오지만 계수 여섯 개를 옮겨 적는 동안 부호·차수 실수가 끼어듭니다. 시간도 세 배 걸립니다. 곱의 꼴이 보이면 공식을 쓰는 것이 원칙입니다.
  • 미분 전에 x=1을 먼저 대입한다
    f(1)=3·4=12를 구해 놓고 이걸 미분하면 상수의 미분이라 0이 됩니다. 순서는 미분 → 대입입니다. 절대 뒤집지 마세요.
  • h(1)을 3으로 센다
    x³+x²+x+1은 항이 네 개라 h(1)=4입니다. 앞의 x²+x+1(항 세 개)과 나란히 놓여 있어 습관적으로 3으로 적는 실수가 잦습니다. 답이 24로 나왔다면 이 경우입니다.
  • h′(x)의 상수항을 남긴다
    h(x)의 마지막 +1은 미분하면 사라집니다. h′(x)=3x²+2x+1의 1은 x를 미분한 1이지, 상수 1이 남은 것이 아닙니다. 헷갈리면 항별로 화살표를 그어 확인하세요.


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