쎈미적분1 0304

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 09

0304
난이도 중
서술형
구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0304번 문제

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문제를 읽자마자

출제의도

“모든 실수에서”라고 써 있지만, 실제로 확인할 곳은 x=1 한 점뿐

두 조각 모두 다항함수라 각자의 구간 안에서는 이미 미분가능합니다. 문제가 되는 곳은 식이 갈리는 경계뿐입니다. 앞 문항과 구조는 같지만 이 문제는 서술형이라, 연속 조건과 미분계수 조건을 각각 근거로 적었는지가 점수로 직결됩니다. 답만 맞히면 절반도 받지 못합니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 어디를 봐야 하는가
“모든 실수 x에서 미분가능”이라는 조건에 겁먹지 마세요. −x²+ax도, ½x²+x+b도 다항함수라 어디서나 매끄럽습니다.
확인이 필요한 곳은 두 식이 만나는 x=1 하나뿐입니다.
힌트 2 — 첫 번째 식: 연속
x=1에서 좌극한과 함숫값이 같아야 합니다.
½ + 1 + b = −1 + a, 정리하면 a − b = 5/2.
서술형이니 “미분가능하므로 연속이다”라는 한 줄을 반드시 앞에 쓰세요. 이 문장이 배점 30%입니다.
힌트 3 — 두 번째 식: 미분계수
우미분계수는 −x²+ax를 미분한 −2x+a에 x=1을 넣어 a−2, 좌미분계수는 ½x²+x+b를 미분한 x+1에 x=1을 넣어 2.
a−2=2에서 a를 구하고, 첫 식에 넣어 b를 구합니다. 마지막으로 문제가 요구한 것은 a+b가 아니라 ab입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 6  (a=4, b=3/2)

쎈 미적분1 0304번 해설 1
쎈 미적분1 0304번 해설 2

풀이영상

답안 구성 — 배점이 붙는 세 지점

① a, b 사이의 관계식을 구한다 (연속 조건 → a−b=5/2) … 30%
② a, b의 값을 구한다 (미분계수 조건 → a=4, b=3/2) … 50%
③ ab의 값을 구한다 (ab=6) … 20%
답만 6이라고 적으면 20%만 인정됩니다. 세 단계를 줄을 나눠 순서대로 쓰세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 연속 조건을 머릿속으로만 쓰고 넘어간다
    서술형에서 “미분가능하므로 x=1에서 연속이다”라는 근거 문장이 빠지면 관계식 배점 30%가 통째로 날아갑니다. 결과가 맞아도 회복되지 않습니다.
  • ab를 a+b로 잘못 읽는다
    바로 앞 0303번이 a+b를 물었기 때문에 관성으로 5.5를 적기 쉽습니다. a=4, b=3/2를 따로 쓴 뒤 곱셈 기호를 손으로 적고 계산하세요.
  • b=3/2를 정수로 만들려 한다
    a−b=5/2에 a=4를 넣으면 b=4−5/2=3/2입니다. 분수로 나온다고 계산이 틀린 것이 아닙니다. 여기서 b=1이나 2로 고치면 ab가 통째로 달라집니다.
  • x≥1과 x<1의 식을 반대로 대입한다
    등호가 붙은 쪽이 −x²+ax입니다. 우측이 −x²+ax, 좌측이 ½x²+x+b. 계산 시작 전에 문제 위에 좌·우를 표시해 두세요.
  • “모든 실수에서”를 보고 여러 점을 확인하려 한다
    조각마다 다항함수이므로 경계 x=1 외에는 검사할 점이 없습니다. 다만 답안에는 “x=1에서 미분가능하고 연속이다”라고 검사 지점을 명시해야 논리가 완성됩니다.


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