쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0305
난이도 중
미분가능성의 판정
풀이영상 있음
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함수 f(x) = |x+1|(x+a)가 x = −1에서 미분가능할 때, a + f′(−1)의 값은? (단, a는 상수이다.)
① −2② −1③ 0④ 1⑤ 2
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문제를 읽자마자
출제의도
절댓값의 꺾이는 점에서 좌미분계수와 우미분계수를 맞추라는 문제
|x+1|은 x=−1에서 뾰족합니다. 그 뾰족함을 (x+a)가 눌러 없애 줘야만 미분가능해집니다. 그래서 이 문제의 전부는 미분계수의 정의로 x→−1+ 와 x→−1− 를 각각 계산해 두 값을 같다고 놓는 것입니다. 절댓값을 그대로 미분하려 드는 순간 길을 잃습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇을 확인해야 하나
“미분가능”을 보면 연속부터 떠올리는 건 맞습니다. 그런데 이 함수는 다항식과 절댓값의 곱이라 연속은 이미 보장되어 있습니다. 즉 연속 조건에서는 a에 대한 정보가 나오지 않습니다.
그렇다면 a를 결정하는 조건은 어디서 나올까요? 미분계수의 정의를 그대로 써 보세요.
그렇다면 a를 결정하는 조건은 어디서 나올까요? 미분계수의 정의를 그대로 써 보세요.
힌트 2 — 절댓값 벗기기
f(−1)=0입니다. 그래서 정의식은 {f(x)−0}/(x+1) 로 간단해집니다.
이제 좌우로 나누세요. x > −1이면 |x+1| = x+1, x < −1이면 |x+1| = −(x+1).
각각에서 (x+1)이 약분되면 남는 식은 무엇인가요?
이제 좌우로 나누세요. x > −1이면 |x+1| = x+1, x < −1이면 |x+1| = −(x+1).
각각에서 (x+1)이 약분되면 남는 식은 무엇인가요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
우미분계수는 x+a → −1+a, 좌미분계수는 −(x+a) → 1−a가 됩니다. 두 값을 같다고 놓으면 a가 나옵니다.
그리고 a를 구했다고 멈추지 마세요. 문제가 물은 것은 a가 아니라 a + f′(−1)입니다. f′(−1)은 방금 구한 미분계수 값 그 자체입니다.
그리고 a를 구했다고 멈추지 마세요. 문제가 물은 것은 a가 아니라 a + f′(−1)입니다. f′(−1)은 방금 구한 미분계수 값 그 자체입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ a + f′(−1) = 1
풀이영상
더 빠른 길 — 꺾임을 지우는 인수 찾기
|x−p|·g(x)가 x=p에서 미분가능할 조건은 g(p)=0 하나뿐입니다. 여기서 p=−1, g(x)=x+a이므로 g(−1)=−1+a=0, 즉 a=1.
이때 f(x)=|x+1|(x+1)=(x+1)|x+1| 이고 이 함수의 x=−1에서의 미분계수는 0이므로 a+f′(−1)=1+0=1. 좌우극한을 쓰지 않고 한 줄로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
연속 조건만 확인하고 끝낸다
이 함수는 a가 무엇이든 모든 점에서 연속입니다. 연속에서는 조건이 하나도 안 나옵니다. 절댓값 문제에서 a를 결정하는 것은 언제나 좌·우 미분계수가 같다는 조건입니다. -
절댓값을 그대로 두고 곱의 미분법을 쓴다
|x+1|은 x=−1에서 미분되지 않습니다. 미분법 공식을 쓰려면 먼저 구간을 x>−1, x<−1로 나눠 절댓값을 벗겨야 합니다. -
좌·우의 부호를 반대로 붙인다
x<−1일 때 x+1은 음수이므로 |x+1|=−(x+1)입니다. 이 마이너스를 놓치면 −1+a=−1+a라는 항등식이 나와 a가 아예 결정되지 않습니다. -
a=1까지 구하고 답으로 적는다
구한 값은 a입니다. 문제가 요구한 것은 a+f′(−1). a를 원식에 되돌려 f′(−1)=−1+a=0을 반드시 따로 계산하세요. -
f′(−1)을 f(−1)과 헷갈린다
f(−1)=0, f′(−1)=0으로 두 값이 우연히 같아 넘어가기 쉽습니다. 값이 같아도 의미는 다릅니다. 답안에는 미분계수임을 분명히 적으세요.