쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 09
0303
대표 문제
구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성
풀이영상 있음
대표 문제
구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성
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문제를 읽자마자
출제의도
“미분가능하다”는 한 마디에서 식 두 개를 뽑아내라는 문제
미지수가 a, b 두 개이므로 식도 두 개가 필요합니다. 그런데 문제가 준 조건은 겉보기엔 하나뿐입니다. 여기서 미분가능 = 연속 + 미분계수 존재로 쪼개는 것이 이 유형의 전부입니다. 이후 나오는 모든 구간별 정의 함수 문제가 이 두 줄에서 출발합니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 식이 몇 개 필요한지부터
구할 것은 a와 b, 미지수 2개입니다. 그러면 방정식도 2개가 나와야 합니다.
조건은 “x=2에서 미분가능하다” 하나뿐인데, 이 한 문장이 두 가지 사실을 동시에 뜻합니다. 무엇과 무엇일까요?
조건은 “x=2에서 미분가능하다” 하나뿐인데, 이 한 문장이 두 가지 사실을 동시에 뜻합니다. 무엇과 무엇일까요?
힌트 2 — 첫 번째 식: 연속
미분가능하면 반드시 연속입니다. x=2에서 좌극한과 함숫값이 같아야 하므로
a·2+b = 2² , 즉 2a+b=4 가 첫 번째 식입니다.
여기서 멈추면 미지수 2개에 식 1개라 답이 나오지 않습니다.
a·2+b = 2² , 즉 2a+b=4 가 첫 번째 식입니다.
여기서 멈추면 미지수 2개에 식 1개라 답이 나오지 않습니다.
힌트 3 — 두 번째 식: 미분계수
x=2에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다.
x≥2 쪽 x²의 x=2에서의 기울기는 4, x<2 쪽 ax+b의 기울기는 a. 따라서 a=4.
a를 첫 식에 넣어 b를 구한 뒤, 묻는 것이 a+b라는 점을 확인하세요.
x≥2 쪽 x²의 x=2에서의 기울기는 4, x<2 쪽 ax+b의 기울기는 a. 따라서 a=4.
a를 첫 식에 넣어 b를 구한 뒤, 묻는 것이 a+b라는 점을 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 0 (a=4, b=−4)
풀이영상
더 빠른 길 — 도함수끼리 비교
g(x)=x², h(x)=ax+b로 두면 두 함수 모두 다항함수이므로, x=2에서 미분가능할 조건은 g(2)=h(2)이고 g′(2)=h′(2)입니다.
g′(x)=2x, h′(x)=a에서 g′(2)=4=a. 다시 4=2a+b에 a=4를 넣어 b=−4. 극한 계산 없이 두 줄로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
연속 조건만 쓰고 답을 구하려 한다
2a+b=4 하나로는 미지수 두 개를 결정할 수 없습니다. 답이 안 나온다면 조건 하나를 빠뜨린 것이니, 미분계수 조건을 썼는지 먼저 확인하세요. -
미분계수 조건만 쓰고 a=4에서 멈춘다
기울기 비교는 a만 결정합니다. b는 반드시 연속 조건에서 나옵니다. 두 식은 역할이 다르므로 어느 쪽도 생략할 수 없습니다. -
x≥2와 x<2를 반대로 대입한다
등호가 붙은 쪽이 x²입니다. 우극한·우미분계수는 x², 좌극한·좌미분계수는 ax+b. 부등호 방향을 먼저 표시하고 계산을 시작하세요. -
기울기 비교를 아무 함수에나 쓴다
g′(a)=h′(a)로 바로 비교하는 것은 두 조각이 모두 다항함수처럼 매끄러울 때 쓰는 축약형입니다. 절댓값이나 분수 형태가 섞이면 미분계수의 정의로 좌·우를 따로 계산해야 합니다. -
a, b를 구하고 답을 적지 않는다
묻는 것은 a+b입니다. a=4, b=−4를 따로 적은 뒤 더해서 0을 쓰세요. b의 부호를 놓쳐 8이나 −8을 적는 실수가 가장 많습니다.
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