쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0277
대표 문제
평균변화율과 미분계수
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출제의도
할선의 기울기와 접선의 기울기를 같다고 놓는 방정식
평균변화율은 두 점을 잇는 직선의 기울기, 미분계수는 한 점에서의 접선 기울기입니다. 이 둘을 같게 만드는 c를 찾으라는 것이 문제의 전부이고, 계산은 각각 한 줄씩입니다. 이 구조가 그대로 확장되면 평균값 정리가 됩니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 왼쪽 값부터 확정
먼저 숫자가 되는 쪽을 끝내세요. x가 1에서 3까지 변할 때의 평균변화율은
{f(3)−f(1)} / (3−1)입니다.
f(x)=x²−2x에서 f(3)과 f(1)을 각각 계산하면? f(1)의 부호에 주의하세요.
{f(3)−f(1)} / (3−1)입니다.
f(x)=x²−2x에서 f(3)과 f(1)을 각각 계산하면? f(1)의 부호에 주의하세요.
힌트 2 — 오른쪽은 c가 남는 식
x=c에서의 미분계수는 f′(c)=lim(h→0) {f(c+h)−f(c)} / h로 정의됩니다.
분자를 전개하면 h로 묶이는 항만 남습니다. 반드시 h로 약분한 뒤에 h→0을 넣으세요. 결과는 c에 대한 일차식이 됩니다.
분자를 전개하면 h로 묶이는 항만 남습니다. 반드시 h로 약분한 뒤에 h→0을 넣으세요. 결과는 c에 대한 일차식이 됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
양쪽이 각각 2와 2c−2가 되었나요? 문제 조건은 “같을 때”이므로 2c−2=2.
c를 구한 뒤, 그 값이 구간 1과 3 사이에 놓이는지 눈으로 한 번 확인하세요.
c를 구한 뒤, 그 값이 구간 1과 3 사이에 놓이는지 눈으로 한 번 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 c = 2
풀이영상
더 빠른 길 — 도함수를 먼저 구하기
f(x)=x²−2x의 도함수는 f′(x)=2x−2이므로 f′(c)=2c−2가 즉시 나옵니다. 극한 정의를 전개할 필요가 없습니다.
다만 이 문항은 “미분계수의 정의”를 확인하는 대표 문제이므로, 서술형·수행평가 대비라면 정의로 쓰는 연습을 한 번은 해 두세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(1)을 양수로 계산한다
f(1)=1−2=−1입니다. 분자가 3−(−1)=4인데 3−1=2로 적으면 평균변화율이 1이 되고, c도 통째로 달라집니다. -
분모 3−1을 빼먹는다
평균변화율은 y의 변화량이 아니라 y의 변화량 ÷ x의 변화량입니다. 4로 끝내면 2c−2=4가 되어 c=3이라는 오답이 나옵니다. -
h로 약분하기 전에 h=0을 넣는다
분자·분모가 모두 0이 되는 꼴이라 그냥 대입하면 아무 값도 안 나옵니다. 분자를 h로 묶어 약분한 뒤에 h→0을 적용하세요. -
미분계수와 함숫값을 섞는다
구해야 하는 것은 f′(c)이지 f(c)가 아닙니다. c²−2c=2로 놓는 순간 전혀 다른 이차방정식이 됩니다. -
구한 c가 구간 안인지 확인하지 않는다
c=2는 1과 3 사이에 있어 문제없습니다. 하지만 같은 유형에서 구간 밖 값이 나오면 조건을 잘못 세운 것이므로, 이 확인을 습관으로 만드세요.