쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
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역함수의 평균변화율
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문제를 읽자마자
출제의도
평균변화율 공식은 그대로 두고, g의 값만 그래프에서 읽어라
계산 문제가 아니라 읽기 문제입니다. g(x)=f⁻¹(x)의 값을 그래프에서 뽑아내는 것이 전부이고, 평균변화율 공식 자체는 손댈 것이 없습니다. y=x와 점선이 함께 그려져 있는 이유가 곧 힌트입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 식부터 세우기
묻는 것은 x가 c에서 d까지 변할 때 g(x)의 평균변화율입니다. 공식에 그대로 넣으면
{g(d)−g(c)} / (d−c).
분모는 이미 끝났습니다. 남은 것은 g(d)와 g(c) 두 개의 값뿐입니다.
{g(d)−g(c)} / (d−c).
분모는 이미 끝났습니다. 남은 것은 g(d)와 g(c) 두 개의 값뿐입니다.
힌트 2 — 역함수 값 읽는 법
g(d)=f⁻¹(d)는 “f의 값이 d가 되게 하는 x”입니다. 그래프에서 y좌표가 d인 점을 찾고, 그 점의 x좌표를 읽으세요.
점선과 y=x를 따라가면 f(c)=d임이 보입니다. 그러므로 f⁻¹(d)=c.
점선과 y=x를 따라가면 f(c)=d임이 보입니다. 그러므로 f⁻¹(d)=c.
힌트 3 — 나머지 하나
같은 방식으로 y좌표가 c인 점을 찾으면 f(b)=c, 즉 f⁻¹(c)=b입니다.
이제 두 값을 넣으면 (c−b)/(d−c). 분자·분모를 뒤집지 않았는지만 확인하세요.
이제 두 값을 넣으면 (c−b)/(d−c). 분자·분모를 뒤집지 않았는지만 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ (c−b)/(d−c)
풀이영상
더 빠른 길 — 대응표로 정리하기
그래프에서 f: a→b, b→c, c→d 로 값이 옮겨 간다는 대응만 먼저 메모하세요. 역함수는 화살표를 거꾸로 읽는 것이므로 f⁻¹: d→c, c→b가 즉시 나옵니다.
그러면 g(d)=c, g(c)=b이고 평균변화율은 (c−b)/(d−c). 그래프를 다시 볼 필요가 없습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
g(d)를 f(d)로 읽는다
g는 역함수입니다. f(d)는 x=d에서의 y값, g(d)는 y=d가 되는 x값. 방향이 정반대입니다. 그래프에서 세로로 읽을지 가로로 읽을지가 갈립니다. -
분모까지 g의 값으로 바꿔 버린다
평균변화율의 분모는 x의 변화량입니다. 문제가 “x의 값이 c에서 d까지”라고 했으니 분모는 무조건 d−c. 여기에 손대면 답이 ①이나 ②로 갑니다. -
y=x 보조선을 무시한다
점선과 y=x는 x축의 a, b, c, d를 그래프 위 값으로 옮겨 주는 장치입니다. 이걸 안 쓰면 f(c)=d를 읽어낼 근거가 사라집니다. -
역함수 식을 구하려 든다
애초에 f의 식이 주어지지 않았습니다. 그래프만 있는 문제에서 역함수는 “구하는” 대상이 아니라 “거꾸로 읽는” 대상입니다. -
답을 뒤집어 고른다
(c−b)/(d−c)와 (d−c)/(c−b)는 선택지에 둘 다 있습니다. 마지막에 분자가 g의 변화량인지 한 번 더 확인하세요.