쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
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난이도 중
서술형
평균변화율과 미분계수
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문제를 읽자마자
출제의도
a, b를 각각 구하는 문제가 아니다 — a+b 한 덩어리를 노려라
앞 문항과 구조는 같지만, 미지수가 두 개인데 조건은 하나뿐입니다. 평균변화율을 계산하면 a+b 꼴로 정리되기 때문에 그대로 답이 나오게 설계되어 있습니다. 서술형이므로 평균변화율 · 순간변화율 · 결론 세 단계를 각각 눈에 보이게 써야 점수가 붙습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 문자가 두 개여도 겁먹지 않기
평균변화율은 {f(b)−f(a)} / (b−a). f(x)=x²+2x+3을 대입하면 분자에 b²−a²와 2(b−a)가 생깁니다.
b²−a²는 어떻게 인수분해되나요? 분모의 b−a와 무엇을 하려는지 보일 겁니다.
b²−a²는 어떻게 인수분해되나요? 분모의 b−a와 무엇을 하려는지 보일 겁니다.
힌트 2 — 오른쪽 값 확정하기
x=−1에서의 순간변화율은 f′(−1)입니다. 정의로 쓰면 분자가 {(−1+h)²+2(−1+h)+3} − f(−1)이고, f(−1)=2입니다.
전개하면 일차항이 통째로 사라지고 h²만 남습니다. 여기서 h로 약분하면 값이 바로 보입니다.
전개하면 일차항이 통째로 사라지고 h²만 남습니다. 여기서 h로 약분하면 값이 바로 보입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
왼쪽이 a+b+2, 오른쪽이 0이 되었나요? 두 값이 같다는 조건이므로 a+b+2=0.
a와 b를 따로 구하려 하지 마세요. 애초에 정해지지 않습니다. 문제가 물은 것은 a+b뿐입니다.
a와 b를 따로 구하려 하지 마세요. 애초에 정해지지 않습니다. 문제가 물은 것은 a+b뿐입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a + b = −2
풀이영상
더 빠른 길 — 꼭짓점으로 읽기
f(x)=x²+2x+3=(x+1)²+2이므로 꼭짓점의 x좌표가 −1입니다. 꼭짓점에서 접선은 수평이므로 f′(−1)=0을 계산 없이 단정할 수 있습니다.
그러면 평균변화율 a+b+2=0만 풀면 끝. 단, 서술형 답안에는 f′(−1)을 정의나 도함수로 구하는 과정을 반드시 적어야 합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
a와 b를 각각 구하려고 붙잡는다
조건은 하나, 미지수는 둘이라 개별 값은 정해지지 않습니다. 정리했을 때 a+b 꼴로 묶이면 그것이 곧 답이라는 신호입니다. -
분자를 인수분해하지 않고 약분을 시도한다
b²−a²=(b−a)(b+a)로 묶어야 분모의 b−a가 사라집니다. 여기서 막히면 문제 전체가 멈춥니다. -
f(−1)을 잘못 계산한다
f(−1)=1−2+3=2입니다. 이 값을 −2나 6으로 적으면 분자에 h가 남지 않아 극한이 발산하는 이상한 식이 됩니다. -
서술형인데 결과만 적는다
채점 기준이 평균변화율 40%, 순간변화율 40%, 결론 20%로 쪼개져 있습니다. 답이 −2로 맞아도 과정 두 줄이 없으면 20%만 받습니다. -
a+b+2=0을 a+b=2로 옮긴다
부호 이동에서 가장 많이 깨집니다. 2를 넘기면 a+b=−2. 마지막 한 줄을 소리 내어 확인하세요.